1滋賀医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$x=\cos\theta$ と置くと $r=3+x, r'=-\sin\theta, r''=-x$ なので $$r^2+(r')^2=(3+x)^2+1-x^2=2(5+3x),$$ $$r^2+2(r')^2-rr''=(3+x)^2+2(1-x^2)+(3+x)x=11+9x.$$ $-1\le x\le1$ では分母 $11+9x\ge2$。従って $f(\theta)=F(x)$ と書くと $$\displaystyle F(x)=\frac{2\sqrt2(5+3x)^{3/2}}{11+9x}.$$ (1) $x=1,-1$ を代入して $$\displaystyle f(0)=\frac{16^{3/2}}{20}=\frac{16}{5},\qquad f(\pi)=\frac{4^{3/2}}2=4.$$ (2) 微分すると $$\displaystyle F'(x)=\frac{9\sqrt2(1+3x)\sqrt{5+3x}}{(11+9x)^2}, \qquad f'(\theta)=-\sin\theta F'(\cos\theta).$$ $\theta=0$ の左側では $f'>0$、右側では $f'<0$。$\theta=\pi$ の近くでも左側で $f'>0$、右側で $f'<0$。従ってどちらも局所極大点である。 (3) $F'$ は $x<-1/3$ で負、$x>-1/3$ で正なので、最小は $x=-1/3$、すなわち $\cos\theta=-1/3$ のときにとる。値は $$\displaystyle F(-1/3)=\frac{8^{3/2}}8=2\sqrt2.$$