横浜市立大学 2025年数学第IV問解答・解説

三角関数微分法積分法

このページには広告が含まれます。

1問題

横浜市立大学2025年度第IV問

以下の各問いに答えなさい。

(1) 関数 $\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}$ の導関数を求めなさい。

(2) 関数 $\displaystyle \frac{\sin x-1}{1+\cos^2 x}$ $(0\leq x\leq2\pi)$ の極値をすべて求めなさい。

(3) 定積分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3 x}{1-\cos x}\,dx$ の値を求めなさい。

(4) 曲線 $\displaystyle y=\sin x\quad(0\leq x\leq\frac{\pi}{2})$ と $y$ 軸および直線 $y=1$ によって囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle \frac{2}{(\cos x-\sin x)^2}$ （ $\cos x\ne0$ , $\sin x\ne\cos x$ ）
(2)
区間内部の極大値 $0$ （ $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ ）、極小値 $-2$ （ $\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}$ ）。端点値は $\displaystyle f(0)=f(2\pi)=-\frac12$ 。
(3)
$\displaystyle \frac{1+2\sqrt2}{4}$
(4)
$π^3/4−2π$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)は商の微分を行い元の関数の定義域を保つ。(2)は商の微分で $f^{\prime}(x)$ の符号が $\cos x$ の符号と同じと示し、臨界点の増減を判定する。(3)は $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$ で被積分関数を簡単にする。(4)は $x$ 方向の縦細片を $y$ 軸まわりに回す円筒殻法を使い、二つの積分を評価する。

この問題で使う考え方

商の微分法
導関数の符号による極値判定
三角恒等式による被積分関数の整理
部分積分
円筒殻法による回転体積

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。