II横浜市立大学 2025年 数学 第II問解答・解説

回文数の各桁は左右対称であるから、桁数が決まると上位の半分の数字を決めれば全体が定まる。

(1) 1桁の回文数は9個、2桁の回文数も9個である。したがって、3桁の回文数は小さい方から数えて19番目から始まる。3桁の回文数の最小は101であるから、求める数は101である。

(2) 3桁の回文数では、百の位を1から9までの9通り、十の位を0から9までの10通りに選べるので、$9\times10=90$個である。4桁の回文数では、千の位を1から9までの9通り、百の位を0から9までの10通りに選べば残りの2桁が定まるので、$9\times10=90$個である。3桁の回文数はすべて101以上、4桁の回文数はすべて9999以下だから、求める個数は$90+90=180$個である。

(3) k桁の回文数では、上位から$\displaystyle \left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil$ 桁を決めると残りが定まる。最上位の桁には9通り、ほかの$\displaystyle \left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil-1$桁にはそれぞれ10通りあるから、その個数は$\displaystyle 9\times10^{\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil-1}$である。各$j=1,\ldots,N$について、$(2j-1)$桁と$2j$桁の回文数はそれぞれ$9\times10^{j-1}$個である。$10^{2N}$より小さい正の整数は高々2N桁なので、求める個数は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{N}2\cdot9\cdot10^{j-1}=18\frac{10^N-1}{10-1}=2(10^N-1)$$ である。

(4) 1桁と2桁の回文数は合わせて18個、3桁と4桁は合わせて180個、5桁と6桁は合わせて1800個である。よって6桁以下では合計$18+180+1800=1998$個あり、2025番目は7桁の回文数のうち$2025-1998=27$番目である。7桁の回文数は、上位4桁を$1000,1001,1002,\ldots$ と順に選べば一意に定まる。27番目の上位4桁は$1026$であり、これを左右対称に並べると$1026201$となる。

(1)は9個の1桁数と9個の2桁数に続く最初の3桁数であることを確認した。(3)でN=1とすると18個となり、1桁と2桁の個数の合計とも一致する。