3島根大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 定義域は実数全体であり，$f(-x)=-f(x)$。微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac8{(x^2+1)^{3/2}}>0,\qquad f''(x)=-\frac{24x}{(x^2+1)^{5/2}}.$$ 従って全体で増加し，$x<0$ で下に凸，$x>0$ で上に凸，原点が変曲点である。 また $x\to+\infty$ で $f(x)\to8$，$x\to-\infty$ で $f(x)\to-8$ だから，漸近線は右側が $y=8$，左側が $y=-8$。概形は図の通りである。

(2) $g(x)=f(x)-x$ とおけば，共有点の個数は $g(x)=k$ の実数解の個数に等しい。 $$\displaystyle g'(x)=\frac8{(x^2+1)^{3/2}}-1.$$ これは $|x|<\sqrt3$ で正，$|x|>\sqrt3$ で負。従って $g$ は $x<-\sqrt3$ で減少，$-\sqrt3<x<\sqrt3$ で増加，$x>\sqrt3$ で減少する。 $$\displaystyle g(-\sqrt3)=-3\sqrt3,\qquad g(\sqrt3)=3\sqrt3,\qquad \lim\limits _{x\to-\infty}g(x)=+\infty,\quad\lim\limits _{x\to+\infty}g(x)=-\infty.$$ $k>0$ に注意すると，$0<k<3\sqrt3$ で3個，$k=3\sqrt3$ で2個，$k>3\sqrt3$ で1個となる。よって $\boxed{k=3\sqrt3}$。

(3) $x\ge0$ における唯一の共有点は $x=\sqrt3$ であり，そこで接する。$0\le x\le\sqrt3$ では直線が曲線以上なので $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\sqrt3}\left(x+3\sqrt3-\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx\\ &=\left[\frac{x^2}2+3\sqrt3x-8\sqrt{x^2+1}\right]_0^{\sqrt3}\\ &=\frac32+9-16+8=\boxed{\frac52}. \end{aligned}$$