III日本医科大学 2013年 数学 第III問解答・解説

問1 部分積分で $u=(\log x)^{k+1},\quad dv=x^{-2}\,dx$ とすると、$du=(k+1)(\log x)^k x^{-1}\,dx,\quad v=-x^{-1}$ である。したがって、積分定数を整合するように選べば $$\displaystyle I_{k+1}(x)=-\frac{(\log x)^{k+1}}{x}+(k+1)I_k(x)$$ となる（不定積分の任意定数を別々に選ぶ場合は、この式は定数の差を除いて成り立つ）。まず $$\displaystyle I_0(x)=\int x^{-2}\,dx=-\frac1x+C.$$ 定数を除いた原始関数を順に代入すると $$\displaystyle I_1(x)=-\frac{\log x+1}{x},\quad I_2(x)=-\frac{(\log x)^2+2\log x+2}{x},$$ $$\displaystyle I_3(x)=-\frac{(\log x)^3+3(\log x)^2+6\log x+6}{x},$$ ゆえに $$\displaystyle I_4(x)=-\frac{(\log x)^4+4(\log x)^3+12(\log x)^2+24\log x+24}{x}+C.$$

問2 $\displaystyle g(x)=\dfrac{\log x}{x^{1/3}}\quad(x>0)$ とおくと、 $$\displaystyle g'(x)=\frac{1-\frac13\log x}{x^{4/3}}.$$ 分母は正であり、分子は $x<e^3$ で正、$x=e^3$ で0、$x>e^3$ で負である。よって$g$は$x=e^3$で最大となり、その値は$g(e^3)=3/e$である。したがって$\displaystyle g(x)\le\frac3e$。$x^{1/3}>0$を掛ければ $$\displaystyle \log x\le\frac3e x^{1/3}$$ を得る。等号は$x=e^3$のときに成立する。

問3(a) $x\ge1$では $$\displaystyle f'(x)=\frac{2\log x-(\log x)^2}{x^2}=\frac{\log x(2-\log x)}{x^2}.$$ したがって$1<x<e^2$で$f'(x)>0$、$x>e^2$で$f'(x)<0$である。また、$f(1)=0$、$f(e^2)=4/e^2$であり、$x\to+\infty$では$(\log x)^2/x\to0$。よって$x=1$で最小値0、$x=e^2$で最大値$4/e^2$をとる。増減表と概形は $$\begin{array}{c|ccccc} x&1&&e^2&&+\infty\\\hline f'(x)&0&+&0&-&\\\hline f(x)&0&\nearrow&4/e^2&\searrow&0 \end{array}\qquad\text{概形：}(1,0)\text{から増加し }(e^2,4/e^2)\text{で最大となり，その後 }y=0\text{に近づく。}$$

問3(b) $n>1$なら$n<n^2$であり、$n\le x\le n^2$の範囲で$f(x)\ge0$だから $$\displaystyle S_n=\int_n^{n^2}\frac{(\log x)^2}{x}\,dx =\left[\frac{(\log x)^3}{3}\right]_n^{n^2} =\frac{(2\log n)^3-(\log n)^3}{3} =\frac73(\log n)^3.$$

問3(c) 回転軸に垂直な位置$x$での断面は半径$f(x)$の円で、その面積は$\pi f(x)^2$である。よって $$\displaystyle V_n=\pi\int_n^{n^2}f(x)^2\,dx =\pi\int_n^{n^2}\frac{(\log x)^4}{x^2}\,dx =\pi\bigl(I_4(n^2)-I_4(n)\bigr).$$ $t=\log n$とおけば $$\displaystyle V_n=\pi\left\{ \frac{t^4+4t^3+12t^2+24t+24}{n} -\frac{16t^4+32t^3+48t^2+48t+24}{n^2} \right\}.$$

問3(d) $t=\log n$とすると、(b)、(c)より $$\displaystyle \frac{nV_n}{(\log n)S_n} =\frac{3\pi}{7}\left\{ \frac{t^4+4t^3+12t^2+24t+24}{t^4} -\frac{16t^4+32t^3+48t^2+48t+24}{nt^4} \right\}.$$ $n\to\infty$のとき$t\to\infty$であり、第1項の括弧内は1に、第2項は0に近づく。したがって求める極限は $$\displaystyle \boxed{\frac{3\pi}{7}}.$$

検算 問1の$I_4$は問1の漸化式に$k=0,1,2,3$を順に代入して得た。問3(b)の原始関数の微分は$(\log x)^2/x$であり、問3(c)の被積分関数は区間全体で正なので体積も正である。問3(d)では$t=\log n$とおいた各係数を明示したため、$1/n$を含む項が0に近づくことも確認できる。