II日本医科大学 2013年 数学 第II問解答・解説

(1) $2\leq m\leq k\leq n$ ならば，分母は正であり， $$k^2<k(k+1),\qquad k(k-1)<k^2$$ だから，逆数をとると $$\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}<\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}$$ となる。これを $k=m,m+1,\ldots,n$ について加える。左辺と右辺はそれぞれ $$\displaystyle \sum\limits _{k=m}^{n}\frac{1}{k(k+1)} =\sum\limits _{k=m}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) =\frac1m-\frac1{n+1} =\frac{n+1-m}{m(n+1)},$$ $$\displaystyle \sum\limits _{k=m}^{n}\frac{1}{k(k-1)} =\sum\limits _{k=m}^{n}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right) =\frac1{m-1}-\frac1n =\frac{n+1-m}{n(m-1)}$$ と望遠和になる。各項の不等号は厳密であるから，和についても $$\displaystyle \frac{n+1-m}{m(n+1)}<\sum\limits _{k=m}^{n}\frac1{k^2}<\frac{n+1-m}{n(m-1)}$$ が成り立つ。

(2) $$\displaystyle S_n=1+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{k^2}$$ とおく。$S_{n+1}=S_n+1/(n+1)^2>S_n$ だから $(S_n)$ は増加する。(1) に $m=2$ を入れると，$n>2$ に対して $$\displaystyle \frac{n-1}{2(n+1)}<\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{k^2}<\frac{n-1}{n}$$ である。したがって $S_n<1+(n-1)/n<2$（$n>2$）であり，$S_1,S_2<2$ も直接確かめられる。よって $(S_n)$ は上に有界な増加数列なので収束する。その極限を $L$ とする。上の不等式に 1 を加え，$n\to\infty$ とすると，左端は $3/2$，右端は $2$ に近づく。したがって $$\displaystyle \frac32\leq L\leq2$$ を得る。

(3) (1) に $m=4$ を入れると，$n>4$ に対して $$\displaystyle \frac{n-3}{4(n+1)}<\sum\limits _{k=4}^{n}\frac1{k^2}<\frac{n-3}{3n}$$ である。また $$\displaystyle S_n=1+\frac14+\frac19+\sum\limits _{k=4}^{n}\frac1{k^2} =\frac{49}{36}+\sum\limits _{k=4}^{n}\frac1{k^2}.$$ 両端の分数は $n\to\infty$ でそれぞれ $1/4$，$1/3$ に近づく。$S_n\to L$ であるから $$\displaystyle \frac{49}{36}+\frac14\leq L\leq\frac{49}{36}+\frac13,$$ すなわち $$\displaystyle \frac{29}{18}\leq L\leq\frac{61}{36}$$ となる。