I日本医科大学 2013年 数学 第I問解答・解説

$E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ とする。

問1　$\displaystyle (A-kE)\binom{x}{y}=\binom00$ が零ベクトルでない解をもつ条件を調べる。 $$(1-k)x+2y=0,\qquad -3x+(6-k)y=0.$$ 第1式から $\displaystyle y=\frac{k-1}{2}x$ である。零でない解では $x\ne0$ なので、これを第2式へ代入すると $$-6+(6-k)(k-1)=0,\qquad k^2-7k+12=(k-3)(k-4)=0.$$ 逆に $k=3,4$ ではそれぞれ $(x,y)=(2,k-1)$ が零でない解になる。したがって求める値は $k=3,4$ であり、$\alpha=3,\beta=4$。

問2　$Q=E-P$ を $3P+4Q=A$ に代入すると $P=4E-A$、$Q=A-3E$ である。よって $$P=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}-2&2\\-3&3\end{pmatrix}.$$

問3　成分ごとに積を計算すると $$P^2=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}=P,\quad Q^2=\begin{pmatrix}-2&2\\-3&3\end{pmatrix}=Q,$$ $$PQ=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad QP=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

問4　問2から $A=3P+4Q$ である。問3の積の結果より、$n=1$ で $A^n=3^nP+4^nQ$ が成り立ち、これが $n$ で成り立つとき $$A^{n+1}=(3^nP+4^nQ)(3P+4Q)=3^{n+1}P+4^{n+1}Q$$ となる。したがって帰納法により、すべての自然数 $n$ について $$A^n=3^nP+4^nQ =\begin{pmatrix}3^{n+1}-2\cdot4^n&2(4^n-3^n)\\3(3^n-4^n)&-2\cdot3^n+3\cdot4^n\end{pmatrix}.$$

問5　$C=A+B$ を計算すると $$C=\begin{pmatrix}a-1&1\\a^2-2a-7&2a\end{pmatrix}.$$ $\displaystyle (C-kE)\binom{x}{y}=\binom00$ が零でない解をもつ条件を考える。第1行から $y=(k-a+1)x$ となり、非零解では $x\ne0$。第2行へ代入して整理すると $$k^2-(3a-1)k+a^2+7=0.$$ この二次方程式が実数の解 $k$ をただ1つだけもつためには判別式が0であるから、 $$(3a-1)^2-4(a^2+7)=5a^2-6a-27=(a-3)(5a+9)=0.$$ $a>0$ より $a=3$。このとき二次方程式は $(k-4)^2=0$ となり、$k=4$ である。

問6　$a=3$ のとき $$C=\begin{pmatrix}2&1\\-4&6\end{pmatrix},\qquad N=C-4E=\begin{pmatrix}-2&1\\-4&2\end{pmatrix}.$$ よって $$N^2=\begin{pmatrix}4-4&-2+2\\8-8&-4+4\end{pmatrix}=O.$$

問7　$C=4E+N$、$N^2=O$ より、帰納法で $$C^n=4^nE+n4^{n-1}N =4^{n-1}\begin{pmatrix}4-2n&n\\-4n&4+2n\end{pmatrix}\qquad(n=1,2,\ldots).$$ 実際、$n=1$ では $C=4E+N$ であり、この式に右から $C=4E+N$ を掛けると、$N^2=O$ により次の指数の式が得られる。