3北海道大学 2014年 数学 第3問解答・解説

各 $A_n$ は逆行列をもつ。与えられた式の右から $A_n^{-1}$ を掛けると $$A_{n+1}=E+2A_n^{-1},\qquad A_{n+1}+E=2(A_n+E)A_n^{-1}.$$

(1) $A_1+E$ は逆行列をもつ。$A_n+E$ が逆行列をもつとし、 $$\displaystyle C_n=\frac12A_n(A_n+E)^{-1}$$ とおく。すると、積の順序を保ったまま $$(A_{n+1}+E)C_n =(A_n+E)A_n^{-1}A_n(A_n+E)^{-1}=E,$$ $$C_n(A_{n+1}+E) =A_n(A_n+E)^{-1}(A_n+E)A_n^{-1}=E.$$ 従って $C_n$ は $A_{n+1}+E$ の両側逆行列である。帰納法によりすべての自然数 $n$ で $A_n+E$ は逆行列をもち、 $$\displaystyle (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac12A_n(A_n+E)^{-1}$$ が成立する。

(2) $A_{n+1}=E+2A_n^{-1}$ と(1)を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} B_{n+1} &=(2E-A_{n+1})(A_{n+1}+E)^{-1}\\ &=(E-2A_n^{-1})\frac12A_n(A_n+E)^{-1}\\ &=\frac12(A_n-2E)(A_n+E)^{-1}\\ &=-\frac12(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}=-\frac12B_n. \end{aligned}$$ この漸化式を繰り返すと $$\displaystyle B_n=\left(-\frac12\right)^{n-1}B_1\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$ となる。