4北海道大学 2014年 数学 第4問解答・解説

図より、東へ4回、北へ4回進む格子経路を考える。経路は8区間からなり、通常の区間だけなら所要時間はどれも16分である。

(1) 区間aの始点までに東・北へ1回ずつ進む並べ方は$\displaystyle \binom{2}{1}=2$通り。aを通過した後、終点までに東へ2回、北へ3回進む並べ方は$\displaystyle \binom{5}{2}=10$通りだから、積の法則により$$\displaystyle 2\binom{5}{2}=20$$通り。

(2) 区間bの始点は、Sから東へ4回、北へ2回進んだ点である。そこまでの経路は$\displaystyle \binom{6}{2}=15$通りで、bを通過した後の経路は北へ1回だけなので、bを通る経路は15通り。aとbの両方を通る経路は、Sからaの始点までが$\displaystyle \binom{2}{1}=2$通り、aの終点からbの始点までが東2回・北1回の$\displaystyle \binom{3}{1}=3$通り、bの後が1通りで、$2\cdot3\cdot1=6$通り。よって、aを通らずbを通る経路は$15-6=9$通り。

(3) 全経路数は$\displaystyle \binom{8}{4}=70$通り。各経路の所要時間は、通常の16分から、aを通ると1分減り、bを通ると6分増える。aを通る経路は20通り、bを通る経路は15通りなので、全経路から等確率に1つ選んだときの期待値は$$\displaystyle 16-\frac{20}{70}+6\frac{15}{70}=17$$分。