4昭和大学 2021年 数学 第4問解答・解説

$\text{(1-1)}\quad \text{楕円は半径1の円を横に }a\text{ 倍、縦に }b\text{ 倍した図形なので、面積は }S=\pi ab。$

$\text{(1-2)}\quad \text{曲面は }z=px^2+qy^2-2\text{。底面との交わりは }px^2+qy^2=2\text{ である。高さ }-2\le z\le0\text{ で切ると、断面は半径軸 }\sqrt{(z+2)/p},\sqrt{(z+2)/q}\text{ の楕円となり、その面積は }\pi(z+2)/\sqrt{pq}\text{。従って}$$$\displaystyle V=\int_{-2}^0\frac{\pi(z+2)}{\sqrt{pq}}\,dz=\frac{2\pi}{\sqrt{pq}}。$$

$\displaystyle \text{(2-1)}\quad \text{全ての結果は }2^4\cdot2^3=128\text{ 通り同様に確からしい。Aが }i\text{ 枚、Bが }j\text{ 枚表を出す場合の数は }\binom4i\binom3j\text{。}$$$\displaystyle \begin{aligned} N(A\text{勝})&=\sum\limits _{i=1}^{4}\binom4i\sum\limits _{j=0}^{i-1}\binom3j =4+24+28+8=64,\\ N(B\text{勝})&=\sum\limits _{i=0}^{2}\binom4i\sum\limits _{j=i+1}^{3}\binom3j =7+16+6=29。 \end{aligned}$$ 従って引き分けは $128-64-29=35$ 通りである。各確率はA勝ちが $64/128=1/2$、B勝ちが $29/128$、引き分けが $35/128$。

$\text{(2-2)}\quad \text{銀貨1枚の額面を1、金貨1枚の額面を }k\text{ とする。Aが勝つと銀貨3枚を得るので、Aの期待獲得額は }3\cdot(1/2)=3/2\text{。Bが勝つと金貨4枚を得るので、Bの期待獲得額は }4k\cdot(29/128)=29k/32\text{。従って}$$$\displaystyle \frac{29k}{32}>\frac32\quad\text{すなわち}\quad k>\frac{48}{29}。$$ $k$ は整数だから、最小は $2$ 倍である。