3昭和大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$\text{(1-1)}\quad \text{赤球が一度も出ないときは白球を3回続けて取り出すので、確率は}$$$\displaystyle \frac7{10}\cdot\frac69\cdot\frac58=\frac7{24}。$$ したがって少なくとも1個赤球が出る確率は $1-7/24=17/24$。

$\text{(1-2)}\quad \text{3回後に8個残るには白球をちょうど2回取り出し、さらに3回目も白球である必要がある。該当する順序は白・赤・白、赤・白・白の二通りであり、確率は}$$$\displaystyle \frac7{10}\cdot\frac39\cdot\frac69+\frac3{10}\cdot\frac7{10}\cdot\frac69 =\frac7{45}+\frac7{50}=\frac{133}{450}。$$

$\text{(2-1)}\quad \text{不等式から }x\ge1\text{、また円の条件から }0\le y\le2。\text{固定した }y\text{ に対し }u=x-1\ge0\text{ とおけば、円の条件は }u\le\sqrt{2y-y^2}\text{、放物線の条件は }u\ge y^2\text{。両者が共存するのは }0\le y\le1\text{ である。従って}$$$\displaystyle S=\int_0^1\left(\sqrt{2y-y^2}-y^2\right)dy =\int_{-1}^0\sqrt{1-v^2}\,dv-\frac13 =\frac\pi4-\frac13。$$

$\text{(2-2)}\quad \text{高さ }y\text{ の水平断面の幅は、前問と同じく }\sqrt{2y-y^2}-y^2\text{ である。これを }x\text{ 軸のまわりに回転する円筒殻として積分すると}$ 高さ $y$ の水平断面の幅を $w(y)=\sqrt{2y-y^2}-y^2$ とする。高さ方向の分割の幅を $\Delta y$、各区間の代表点を $y_i$ とする。その薄帯を回転してできる部分は、分割を細かくした極限で、半径が $y_i$、厚さが $\Delta y$、軸方向の長さが $w(y_i)$ の円筒殻として近似される。この殻の体積は $$\pi\bigl((y_i+\Delta y)^2-y_i^2\bigr)w(y_i) =2\pi y_iw(y_i)\Delta y+\pi w(y_i)(\Delta y)^2$$ $w$ は連続なので、分割幅の最大値を $0$ に近づけると二次項の和は $0$ に収束し、一次項の和はリーマン和として次の積分に収束する。したがって $$\displaystyle V=2\pi\int_0^1 y\left(\sqrt{2y-y^2}-y^2\right)dy。$$ $v=y-1$ とおくと $$\displaystyle \int_0^1 y\sqrt{2y-y^2}\,dy =\int_{-1}^0(v+1)\sqrt{1-v^2}\,dv =\frac\pi4-\frac13。$$ よって $$\displaystyle V=2\pi\left(\frac\pi4-\frac13-\frac14\right)=\frac{\pi^2}{2}-\frac{7\pi}{6}=\frac{\pi(3\pi-7)}6。$$