II順天堂大学 2010年 数学 第II問解答・解説

II　 $y=\alpha x$ を双曲線の式に代入すると $$\displaystyle (2\alpha-11)(2\alpha-1)x^2=-\frac54.$$ $x\ne0$ の共有点が存在するには左辺の係数が負である必要があるから $1/2<\alpha<11/2$。従って共有点を持たない範囲は $\alpha\le1/2$ または $\alpha\ge11/2$、漸近線は $y=x/2,\ y=11x/2$ である。 角の二等分線は、二直線への距離が等しいことから $$\displaystyle \frac{|y-x/2|}{\sqrt5/2}=\frac{|y-11x/2|}{5\sqrt5/2}$$ を満たす。符号を分けて解くと $y=4x/3$ および $y=-3x/4$。前者を双曲線に代入すると $x=\pm3/10$、対応する $y=\pm2/5$ である。 原点からの距離の最小値も確認する。$U=2y-11x,V=2y-x$ とおくと $UV=-5/4$ であり、連立して $$\displaystyle x=\frac{V-U}{10},\qquad y=\frac{11V-U}{20}.$$ したがって $$\displaystyle x^2+y^2=\frac{5U^2+125V^2-30UV}{400} \ge\frac{50|UV|+30(5/4)}{400}=\frac14,$$ ここでは $5U^2+125V^2\ge50|UV|$ を用いた。等号は $U=-5V$ のとき成立し、このとき双曲線上の点は $(3/10,2/5)$ またはその反対点である。よって最小距離は $1/2$。 空欄は $\text{ア}=1,\text{イ}=2,\text{ウエ}=11,\text{オ}=2,\text{カ}=1,\text{キ}=2,\text{クケ}=11,\text{コ}=2,\text{サ}=4,\text{シ}=3,\text{スセ}=-3,\text{ソ}=4,\text{タ}=3,\text{チツ}=10,\text{テ}=2,\text{ト}=5,\text{ナニ}=-3,\text{ヌネ}=10,\text{ノハ}=-2,\text{ヒ}=5,\text{フ}=1,\text{ヘ}=2$ である。