5愛媛大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) $t=x+1,\ D=t^2+1\ (D>0)$ とおく。すると $f(x)=D^{-1}$ であり、$$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{2t}{D^2},\qquad f^{\prime\prime}(x)=\frac{6t^2-2}{D^3}=\frac{2(3t^2-1)}{D^3}.$$ したがって、問題の左辺は $$\displaystyle Df^{\prime\prime}(x)+atf^{\prime}(x)+2f(x)=\frac{2(3t^2-1)-2at^2+2(t^2+1)}{D^2}=\frac{2(4-a)t^2}{D^2}.$$ これがすべての実数 $t$ について0となるためには $a=4$ である。 (2) 積和公式より $$\displaystyle \cos(mx)\cos2x=\frac12\{\cos((m-2)x)+\cos((m+2)x)\}.$$ 整数 $r\ne0$ に対して $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(rx)\,dx=\left[\frac{\sin(rx)}r\right]_{-\pi}^{\pi}=0,$$ また $r=0$ なら積分値は $2\pi$ である。よって $m=2$ または $m=-2$ のとき一方の余弦の角の係数だけが0となり、積分値は $\pi$ である。それ以外では積分値は0である。 (3) $n\ge1$ とする。$0\le k\le n-1$ では $n+k>0,\ 2n-k-1>0$ であり、その和は $3n-1$ だから、$$\displaystyle \frac1{(n+k)(2n-k-1)}=\frac1{3n-1}\left(\frac1{n+k}+\frac1{2n-k-1}\right).$$ ここで $r=n-1-k$ とおくと、$k=0,1,\ldots,n-1$ に対して $r$ は $n-1,n-2,\ldots,0$ と動き、$2n-k-1=n+r$ である。ゆえに $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{2n-k-1}=\sum\limits _{r=0}^{n-1}\frac1{n+r}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{n+k}.$$ これを上の分解式に代入して和をとれば、$$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{(n+k)(2n-k-1)}=\frac2{3n-1}\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{n+k}$$ を得る。さらに $\displaystyle T_n=\sum\limits _{j=n}^{2n-1}\frac1j$ とおく。$x\mapsto1/x$ は正の範囲で減少するので、各区間での大小を積分すると $$\displaystyle \int_n^{2n}\frac{dx}{x}\le T_n\le\frac1n+\int_n^{2n-1}\frac{dx}{x}\le\log2+\frac1n.$$ 左端の積分は $\log2$ であるから、はさみうちにより $T_n\to\log2$（$\log$ は自然対数）となる。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}n\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{(n+k)(2n-k-1)}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{2n}{3n-1}T_n=\frac23\log2.$$