2愛媛大学 2007年 数学 第2問解答・解説

数学確認 $p=\vec a\cdot\vec b$ とおく。平行でない条件から $-12<p<12$。$\vec a+t\vec b\ne\vec0$ なので両角の余弦を比べられ、 $$\displaystyle \frac{16+tp}{4|\vec a+t\vec b|} =\frac{p+9t}{3|\vec a+t\vec b|} \quad\text{すなわち}\quad (12-p)(4-3t)=0.$$ $p<12$ より $t=4/3$。

また $$|\vec a-2\vec b|^2=52-4p.$$ $-12<p<12$ から平方は $4$ と $100$ の間にあり、長さは $2<|\vec a-2\vec b|<10$。なす角を $0<\theta<\pi$ と動かせば $p=12\cos\theta$ は$-12<p<12$ のすべての値をとるため、この開区間のすべての長さが実現する。長さが4のときは $16=52-4p$ より $p=9$。