4大阪大学 2009年 数学 第4問解答・解説

x=|$\overrightarrow{OA}$|, y=|$\overrightarrow{OB}$|, $\vec p$=$\overrightarrow{OP}$ とおく。三角形 OAB は退化していないので、$\vec a$ と $\vec b$ は平行でない。また |$\vec a$|=|$\vec b$|=1 である。

与えられた条件から $$(\vec a+\vec b)\cdot\vec p=0.$$ さらに $$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2=0$$ である。したがって、$\vec p$ と $\vec a$-$\vec b$ はともに $\vec a$+$\vec b$ に垂直である。平面上でその方向は一つに定まるから、ある実数 $\lambda$ を用いて $$\vec p=\lambda(\vec a-\vec b)$$ と書ける。条件 $\vec a$$\cdot$$\vec p$>0 より、$\lambda$(1-$\vec a$$\cdot$$\vec b$)>0 である。$\vec a$$\ne$$\vec b$ なので $$\displaystyle 1-\vec a\cdot\vec b=\frac12|\vec a-\vec b|^2>0$$ となり、$\lambda$>0 である。

点 Q は直線 OP 上にあるので、ある実数 s に対し $\overrightarrow{OQ}$=s$\vec p$ とおける。AQ$\perp$ OP から $$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OQ})\cdot\vec p=0$$ であり、$\overrightarrow{OA}$=x$\vec a$ を用いると $$\displaystyle s=\frac{x\vec a\cdot\vec p}{|\vec p|^2}$$ である。ここで $$\vec a\cdot\vec p=\lambda(1-\vec a\cdot\vec b),\qquad |\vec p|^2=\lambda^2|\vec a-\vec b|^2=2\lambda^2(1-\vec a\cdot\vec b)$$ だから、s=$\displaystyle \frac{x}{2\lambda}$ となる。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=s\vec p=\frac{x}{2}(\vec a-\vec b)$$ である。

また、M は AB の中点なので $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12(x\vec a+y\vec b)$$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OM}=\frac{x}{2}(\vec a-\vec b)-\frac12(x\vec a+y\vec b)=-\frac{x+y}{2}\vec b.$$ |$\vec b$|=1 より、$\overrightarrow{MQ}$ は $\vec b$ と平行であり、 $$\displaystyle |\overrightarrow{MQ}|=\frac{x+y}{2}=\frac12\left(|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|\right).$$ 以上で (1)、(2) が示された。