2東京慈恵会医科大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1)(i) $x\ge0$ では $f(x)=2^x-1$ だから $$h(x)=(x^2+1)(2^x-1)-2x.$$ よって $h(0)=0,\ h(1)=2(2-1)-2=0$ である。

(ii) $\ln2>0$ を用いて微分すると $$\begin{aligned} h'(x)&=2x(2^x-1)+(x^2+1)(\ln2)2^x-2,\\ h''(x)&=2(2^x-1)+4x(\ln2)2^x+(x^2+1)(\ln2)^2 2^x. \end{aligned}$$ $x>0$ では各項が正なので $h''(x)>0$ である。従って $h'$ は $x>0$ でxが大きくなると値は必ず大きくなる。

(iii) $h$ は $0\le x\le1$ で連続、$0<x<1$ で微分可能であり、$h(0)=h(1)$ である。平均値の定理により、ある $c\ (0<c<1)$ について $$\displaystyle h'(c)=\frac{h(1)-h(0)}{1-0}=0$$ となる。さらに $h'$ は異なるxの値に対して同じ値をとらないから、このような $c$ はただ1つである。

(2) $h'$ は $c$ の前で負、後で正である。したがって $h$ は $0<x<c$ で減少し、$x>c$ で増加する。$h(0)=h(1)=0$ だから $0<x<1$ では $h(x)<0$、また $x>1$ では $h(x)>0$ である。$x\ge0$ では $h(x)=(x^2+1)(f(x)-g(x))$ であり $x^2+1>0$ なので、$0<x<1$ では $f(x)<g(x)$、$x>1$ では $f(x)>g(x)$ となる。

また $t>0$ に対して $$f(-t)=1-2^t=-(2^t-1)=-f(t),\qquad g(-t)=-g(t)$$ であるから、$f,g$ はともに奇関数である。正の側の大小を反転すれば、$x<-1$ では $f(x)<g(x)$、$-1<x<0$ では $f(x)>g(x)$ となる。交点は $x=-1,0,1$ である。

(3) 有界な部分は $-1\le x\le0$ と $0\le x\le1$ の2つで、奇関数の対称性により回転体の体積は等しい。$0\le x\le1$ では $0\le f(x)\le g(x)$ だから、断面は外半径 $g(x)$、内半径 $f(x)$ の円環である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\int_0^1\{g(x)^2-f(x)^2\}\,dx\\ &=2\pi\left\{\int_0^1\frac{4x^2}{(x^2+1)^2}\,dx-\int_0^1(2^x-1)^2\,dx\right\}. \end{aligned}$$ $\displaystyle \frac{x^2}{(x^2+1)^2}=\frac1{x^2+1}-\frac1{(x^2+1)^2}$ と $$\displaystyle \int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac12\arctan x$$ を用いる。なお、この原始関数は、$0\le x\le1$ で $x=\tan\theta$（$\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$）と置くと、$dx=\sec^2\theta\,d\theta$、$1+x^2=\sec^2\theta$ より $$\displaystyle \int\frac{dx}{(1+x^2)^2} =\int\cos^2\theta\,d\theta =\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}{4}+C =\frac12\arctan x+\frac{x}{2(1+x^2)}+C$$ と導ける（$\displaystyle \sin2\theta=\frac{2x}{1+x^2}$）。これらより $$\displaystyle \int_0^1\frac{4x^2}{(x^2+1)^2}\,dx=4\left\{\frac\pi4-\left(\frac14+\frac\pi8\right)\right\}=\frac\pi2-1.$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1(2^x-1)^2\,dx&=\int_0^1(4^x-2\cdot2^x+1)\,dx\\ &=\frac{3}{\ln4}-\frac2{\ln2}+1=1-\frac1{2\ln2}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle V=2\pi\left(\frac\pi2-2+\frac1{2\ln2}\right)=\pi^2-4\pi+\frac\pi{\ln2}.$$ 数値的にもこの値は正であり、体積の符号と一致する。