5京都大学 2015年 数学 第5問解答・解説

点検した論証 $\displaystyle d,e>0\text{ より }g(n)>0\text{。多項式除法を明示すると }f(x)=g(x)(\alpha x+\beta)+\gamma\text{、}\alpha=\frac ad\text{、}\beta=\frac{bd-ae}{d^2}\text{、}\gamma=c-e\beta\text{。従って }u_n=\frac{f(n)}{g(n)}=\alpha n+\beta+\frac{\gamma}{dn+e}\text{。差分 }u_{n+1}-u_n\text{ は整数で、極限は }\alpha\text{。}$

整数列が収束すれば十分先の任意の2項の差は1未満で、しかも整数だから0。したがって差分はある$\text{整数 }m$に固定され、$u_n=mn+k\quad(k\text{ は整数})$となる。従って全ての$n\ge N$で$f(n)=(mn+k)g(n)$。差は無限個の点で0となる多項式ゆえ恒等的に0で、$f(x)=(mx+k)g(x)$。結論は正しい。

分類 - 単元: 多項式の除法、数列の極限。 - 方法: 商・余り表示、整数値差分の収束、無限個の根をもつ多項式。 - テーマ: 離散的な整数値条件から多項式の整除性を導く。

対象・入力記録

表示修復記録

前版の数式が数式モード外に出ていた箇所をインライン・別行数式に整形し、本文と式を読み分けられるようにした。数学的主張・計算・結論は変更していない。修復前ファイルは `history/transfer08-display-repair-20261001/MM-806e1c46716c-Q5/` に保存した。