6京都大学 2015年 数学 第6問解答・解説

各段階で $f_0$ を選ぶ場合を $B_j=0$、$f_1$ を選ぶ場合を $B_j=1$ とする。 $$\displaystyle x_n=\frac{1+2B_1+2^2B_2+\cdots+2^nB_n}{2^{n+1}}=\frac{m}{2^{n+1}}.$$したがって、$m$ は $1$ から $2^{n+1}-1$ までの奇数をちょうど一度ずつとり、各値は確率 $2^{-n}$ で生じる。条件は $\displaystyle m<\frac{2^{n+2}}3$ である。

$n$ が偶数なら $2^{n+2}=3q+1$ で $\displaystyle q=\frac{2^{n+2}-1}{3}$ は奇数なので、条件を満たす奇数 $m$ の個数は $$\displaystyle \frac{q+1}{2}=\frac{2^{n+1}+1}{3}.$$よって $$\displaystyle P_n=\frac{2^{n+1}+1}{3\cdot2^n}=\frac23+\frac{1}{3\cdot2^n}.$$

$n$ が奇数なら $2^{n+2}=3q+2$ で $\displaystyle q=\frac{2^{n+2}-2}{3}$ は偶数なので、その個数は $$\displaystyle \frac q2=\frac{2^{n+1}-1}{3}.$$よって $$\displaystyle P_n=\frac{2^{n+1}-1}{3\cdot2^n}=\frac23-\frac{1}{3\cdot2^n}.$$