1京都大学 2015年 数学 第1問解答・解説

囲まれる領域の両端を確定する。 $0\le x\le\pi/2$ において $$\displaystyle \sin2x-\sin(x+\pi/8) =2\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac\pi{16}\right) \sin\left(\frac x2-\frac\pi{16}\right).$$ したがって交点の $x$ 座標は $$\displaystyle x=\frac\pi8,\qquad x=\frac{7\pi}{24}$$ の2つだけである。問題文は $x=0,\pi/2$ を領域の境界から除くので、 対象はこの2交点の間で2曲線に挟まれる領域である。 その内部では上の余弦と正弦がともに正だから $$0<\sin(x+\pi/8)<\sin2x.$$

回転断面は円環になる。 外半径が $\sin2x$、内半径が $\sin(x+\pi/8)$ であるから、体積 $V$ は $$\displaystyle V=\pi\int_{\pi/8}^{7\pi/24} \{\sin^2 2x-\sin^2(x+\pi/8)\}\,dx.$$ 半角の公式で被積分関数を整理すると $$\displaystyle \sin^2 2x-\sin^2(x+\pi/8) =\frac{\cos(2x+\pi/4)-\cos4x}{2}.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\left[\frac{\sin(2x+\pi/4)}4-\frac{\sin4x}{8}\right]_{\pi/8}^{7\pi/24}\\ &=\pi\left\{\left(\frac{1/2}4-\frac{-1/2}8\right) -\left(\frac14-\frac18\right)\right\} =\boxed{\frac\pi{16}}. \end{aligned}$$