25自治医科大学 2017年 数学 第25問解答・解説

$x(\theta)=1-\cos\theta,\ y(\theta)=\theta-\sin\theta$ とおくと， $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=1-\cos\theta.$$したがって速さは $$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}=\sqrt{\sin^2\theta+(1-\cos\theta)^2}=\sqrt{2(1-\cos\theta)}=2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|.$$ここで $0\leq\theta\leq2\pi$ より $0\leq\theta/2\leq\pi$ なので $\sin(\theta/2)\geq0$。よって速さは $2\sin(\theta/2)$ である。動いた長さは速さの積分だから， $$\displaystyle L=\int_0^{2\pi}2\sin\frac{\theta}{2}\,d\theta=\left[-4\cos\frac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}=4-(-4)=8.$$