3自治医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

対数が定義されるためには、底の条件から $x>0,\ x\ne1$ である。そこで $t=\log_3x$ とおくと $t\ne0$ であり、 $$\displaystyle \log_3(9x)=\log_3 9+\log_3x=2+t,\qquad \log_x9=\frac{\log_3 9}{\log_3x}=\frac2t$$ となる。これを与式に代入すると $$\displaystyle 2+t-\frac{12}{t}=3.$$ $t\ne0$ なので両辺に $t$ を掛けてよく、 $$t^2-t-12=0,\qquad (t-4)(t+3)=0$$ を得る。したがって $t=4$ または $t=-3$ であり、 $$\displaystyle x=3^4=81,\qquad x=3^{-3}=\frac1{27}$$ である。実際、$x=81$ のとき左辺は $\displaystyle 6-6\cdot\frac12=3$、$\displaystyle x=\frac1{27}$ のとき左辺は $\displaystyle -1-6\cdot(-\frac23)=3$ となるので、どちらも解である。よって、すべての実数解の積は $$\displaystyle 81\cdot\frac1{27}=3$$ であり、選択肢は㋟である。