自治医科大学 2017年数学第15問解答・解説

数学と人間の活動（整数）場合の数と確率

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1問題

自治医科大学2017年度第15問

自然数360は2つの自然数 $a$ と $b$ の積で表すことができる。 $a,b$ が互いに素であるとすると， $a,b$ の組 $(a,b)$ はいくつあるか。

ただし，例えば， $(a,b)=(1,360),\ (360,1)$ は，異なる組としてあつかうこととする。

選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ 8，㋻ 9

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

素因数分解し、互いに素であるため各素因数のべきを一方の因数にまとめて割り当てる。各割当ての順序付き組を数える。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$8\quad$ （㋶）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$ と素因数分解する。 $a$ と $b$ は互いに素なので、素数 $2,3,5$ のそれぞれについて、その素因数のべき $2^3,3^2,5$ は全体が $a$ または $b$ の一方に入る。各素因数のべきについて入る先は2通りあり、3つの選び方は独立だから、順序を区別した組 $(a,b)$ の個数は $2\cdot2\cdot2=8$ である。

この問題で使う考え方

約数・倍数
積の法則

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