I慶應義塾大学 2016年 数学 第I問解答・解説

(1)(i) 9人を定員2,3,4の部屋に入れる方法は $$\displaystyle \frac{9!}{2!3!4!}=1260.$$ 二人の教員が同じ部屋に入る場合を数える。定員2の部屋に入る場合は残り7人から定員3の部屋の3人を選び$\displaystyle \binom73=35$通り。定員3の部屋なら教員以外の1人を選び、残りから定員2の部屋の2人を選ぶので$\displaystyle 7\binom62=105$通り。定員4の部屋なら教員以外の2人を選び、残りから定員2の部屋の2人を選ぶので$\displaystyle \binom72\binom52=210$通り。従って同室は$350$通り、異なる部屋に入る方法は$1260-350=910$通り。

(1)(ii) 部屋の占有人数を$(r_2,r_3,r_4)$とする。$r_2+r_3+r_4=7$、各成分はそれぞれ0〜2,0〜3,0〜4であり、可能な組は $$(0,3,4),(1,2,4),(1,3,3),(2,1,4),(2,2,3),(2,3,2).$$ それぞれ学生を部屋に分ける方法は多項係数なので、総数は $$\displaystyle \frac{7!}{3!4!}+\frac{7!}{1!2!4!}+\frac{7!}{1!3!3!}+\frac{7!}{2!1!4!}+\frac{7!}{2!2!3!}+\frac{7!}{2!3!2!}=35+105+140+105+210+210=805.$$

(2) 選択肢の各$c$について$13x+11y=c$を11で割った余りと、$y\ge1$からの上限$x\le(c-11)/13$を調べる。$c=222,223,224$ではそれぞれ$2x\equiv2,3,4\pmod{11}$、従って$x\equiv1,7,2\pmod{11}$。正の範囲で可能な$x$は順に$1,12$、$7$、$2,13$であり、正の解がちょうど1組なのは$c=223$のみ。そのとき$y=(223-13\cdot7)/11=12$。

(3) $u=e^x$と置けば$du=e^x dx$、積分範囲は$1\le u\le e$なので $$\displaystyle f(m)=\int_1^e|u-m|\,du.$$ $1\le m\le e$なら $$\displaystyle f(m)=\int_1^m(m-u)du+\int_m^e(u-m)du=\frac{(m-1)^2+(e-m)^2}{2}.$$ これは$m=(e+1)/2$で最小となり、値は$(e-1)^2/4$。$m<1$では$\displaystyle f(m)=\int_1^e(u-m)du$は$m$とともに減少し、$m>e$では$\displaystyle f(m)=\int_1^e(m-u)du$は増加するため、全実数上の最小もこの点で取る。