17自治医科大学 2017年 数学 第17問解答・解説

標準極限 $\displaystyle\lim\limits _{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$ を用いる。$x\ne0$ のとき $$\displaystyle \frac{3\sin4x}{x+\sin x} =\frac{12\left(\dfrac{\sin4x}{4x}\right)} {1+\dfrac{\sin x}{x}}.$$ 実際、分母は $x(1+\sin x/x)$ と書ける。$x\ne0$ より分子・分母を $x$ で割ると、分子は $3\sin4x/x=12(\sin4x/(4x))$、分母は $1+\sin x/x$ となる。$x\to0$ とすると、分子の括弧内と分母の第2項はいずれも $1$ に近づくので、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{3\sin4x}{x+\sin x} =\frac{12}{1+1}=6.$$ したがって求める値は $6$（選択肢㋮）である。