6東北大学 2017年 数学 第6問解答・解説

・ $\displaystyle L=\frac\pi2$ とし、$\displaystyle K=\int_0^L e^{ax}\sin bx\,dx$、$P=e^{aL}\cos(bL)-1$、$Q=e^{aL}\sin(bL)$ とおく。$a\ne0$ なので部分積分により $$\displaystyle I(a,b)=\frac Pa+\frac baK,\qquad K=\frac Qa-\frac baI(a,b).$$ これらを連立すると $$(a^2+b^2)I(a,b)=aP+bQ,$$ したがって $$\displaystyle I(a,b)=\frac{e^{a\pi/2}\left(a\cos\frac{\pi b}{2}+b\sin\frac{\pi b}{2}\right)-a}{a^2+b^2}.$$ これは $b=0$ の場合にもそのまま成り立つ。

・ 積和公式から $$\displaystyle \sin bx\sin cx=\frac12\{\cos((b-c)x)-\cos((b+c)x)\}.$$ よって積分の線形性により $$\displaystyle J(a,b,c)=\frac12\{I(a,b-c)-I(a,b+c)\}.$$

・ $u=tx$ とおくと積和公式で $$8\sin u\sin2u\cos3u\cos4u=1+\cos6u+\cos8u-2\cos4u-\cos10u.$$ したがって求める量は $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^x\,dx+I(1,6t)+I(1,8t)-2I(1,4t)-I(1,10t).$$ (1) の式より、固定した $k>0$ について $$\displaystyle |I(1,kt)|\le\frac{e^{\pi/2}(1+kt)+1}{1+k^2t^2}\longrightarrow0\qquad(t\to\infty),$$ ここでは $|\sin|\le1,\ |\cos|\le1$ を用いた。よって極限は $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^x\,dx=e^{\pi/2}-1.$$