5東北大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) $(*)$ の両辺の共役をとると $$|z|^2+\overline\alpha\,\overline z+\overline\beta z+\overline\gamma=0.$$ これを $(*)$ から引く。$z$ と $\overline z$ の係数をまとめれば $$(\alpha-\overline\beta)z-(\overline\alpha-\beta)\overline z+\gamma-\overline\gamma=0,$$ となる。

(2) $D=\alpha-\overline\beta$ とおく。まず $D=0$ なら $\beta=\overline\alpha$ であり、$(*)$ は $$|z+\overline\alpha|^2=|\alpha|^2-\gamma$$ と同値である。右辺は $|\alpha|^2-\gamma>0$ なので解は円周上の無数の点であり、ちょうど2個ではない。

次に $D\ne0$ とする。(1) と $\gamma=\overline\gamma$ より $$Dz=\overline D\,\overline z.$$ 従って $s=Dz$ は実数であり、$z=s/D$ と書ける。このとき $$\displaystyle \begin{aligned} \alpha z+\beta\overline z &=\frac{s}{|D|^2}(\alpha\overline D+\beta D)\\ &=\frac{s}{|D|^2}\left(\alpha(\overline\alpha-\beta)+\beta(\alpha-\overline\beta)\right)\\ &=\frac{s}{|D|^2}(|\alpha|^2-|\beta|^2)=0, \end{aligned}$$ ここで $|\alpha|=|\beta|$ を用いた。よって $(*)$ は $$\displaystyle \frac{s^2}{|D|^2}+\gamma=0, \qquad s=\pm |D|\sqrt{-\gamma}$$ となる。$D\ne0$ かつ $\gamma<0$ だから、この二つの実数 $s$ は相異なり、それぞれ異なる $z=s/D$ を与える。従って解がちょうど2個となる必要十分条件は $$\boxed{\alpha-\overline\beta\ne0} \qquad\text{（すなわち }\alpha\ne\overline\beta\text{）}.$$