14自治医科大学 2017年 数学 第14問解答・解説

条件式の両辺の大きさを2乗すると $25=|3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}|^2=9+16+24\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ となるから、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ である。よって $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は長さ1の互いに垂直なベクトルであり、これらを座標軸にとると $A=(1,0),\ B=(0,1)$ と表せる。また条件式から $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\dfrac35\overrightarrow{OA}+\dfrac45\overrightarrow{OB}$ なので、$\displaystyle C=\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$ である。

直線 $AB$ は $x+y=1$、その長さは $AB=\sqrt2$ である。点 $C$ から直線 $AB$ までの距離は、法線ベクトル $(1,1)$ を用いて $\displaystyle \dfrac{\left|\dfrac35+\dfrac45-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt2}{5}$ となる。したがって $\displaystyle S=\dfrac12\cdot\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{5}=\dfrac15$ であり、$10S=2$ である。