I日本医科大学 2014年 数学 第I問解答・解説

問1 (1) 全体の取り出し方は$\displaystyle \binom92=36$通りである。ハートが出ないのは2枚ともスペードの場合で、その取り出し方は$\displaystyle \binom n2$通りだから、確率は $$\displaystyle \frac{\binom n2}{\binom92}=\frac{n(n-1)}{72}.$$

問1 (2) スペードを1枚、ハートを1枚選ぶ方法は$n(9-n)$通りなので、確率は $$\displaystyle \frac{n(9-n)}{36}.$$

問1 (3) 条件の前半から $$21.6\le n(n-1)<43.2$$ となる。$n$は$0$から$9$までの整数だから、これを満たすのは$n=6,7$である。このうち、問1 (2)の確率が$0.4$未満となる条件は $$n(9-n)<14.4.$$ $n=6$では$n(9-n)=18$で条件を満たさず、$n=7$では$n(9-n)=14<14.4$である。よって$n=7$。

問2 (1) ベクトルの差の長さを用いると $$AB^2=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|^2=3+3-2\cdot2=2, \quad BC^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}|^2=3+3-2\cdot2=2.$$ したがって$AB=BC=\sqrt2$。

問2 (2) $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$より $$\begin{aligned} \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} &=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+|\overrightarrow{OB}|^2\\ &=1-2-2+3=0. \end{aligned}$$ よって$AB\perp BC$。従って$\triangle ABC$は$B$を直角とする三角形であり、$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2$、面積は$1$である。

問2 (3) $O$から平面$ABC$に下ろした垂線の足を$H$とする。$OA=OB=OC$なので、直角三角形$OHA,OHB,OHC$で高さ$OH$が共通であることから$HA=HB=HC$。したがって$H$は$\triangle ABC$の外心である。直角三角形の外心は斜辺の中点だから、$H$は$AC$の中点であり、$HA=AC/2=1$となる。よって $$\displaystyle OH^2=OA^2-HA^2=3-1=2, \qquad V_{OABC}=\frac13\,[ABC]\,OH=\frac13\cdot1\cdot\sqrt2=\frac{\sqrt2}{3}.$$

問3 二次方程式の解と係数の関係から $$\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac{2(a+1)}{a^2+1}, \qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{a}{a^2+1}.$$ 恒等式$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$を用いると $$\displaystyle \frac{4(a+1)^2}{(a^2+1)^2}=1+\frac{2a}{a^2+1}=\frac{(a+1)^2}{a^2+1}.$$ $a^2+1>0$なので、整理して$(a+1)^2(3-a^2)=0$。したがって$a=-1,\sqrt3,-\sqrt3$である。

$a=-1$のとき、元の方程式は$2x^2-1=0$である。$0\le\theta\le\pi$で$\sin\theta\ge0$だから$\sin\theta=1/\sqrt2,\cos\theta=-1/\sqrt2$、よって$\theta=3\pi/4$。

$a=\sqrt3$のとき方程式は$4x^2-2(\sqrt3+1)x+\sqrt3=0$であり、解は$1/2,\sqrt3/2$。したがって$(\sin\theta,\cos\theta)=(1/2,\sqrt3/2)$または$(\sqrt3/2,1/2)$であり、$\theta=\pi/6,\pi/3$。

$a=-\sqrt3$のとき方程式は$4x^2+2(\sqrt3-1)x-\sqrt3=0$であり、解は$1/2,-\sqrt3/2$。$\sin\theta\ge0$より$\sin\theta=1/2,\cos\theta=-\sqrt3/2$、よって$\theta=5\pi/6$。以上より $$(a,\theta)=(-1,3\pi/4),\ (\sqrt3,\pi/6),\ (\sqrt3,\pi/3),\ (-\sqrt3,5\pi/6).$$