II日本医科大学 2014年 数学 第II問解答・解説

問1 $t=x/k>0$とおく。関数$g(t)=t-1-\log t$を考えると $$\displaystyle g'(t)=1-\frac1t=\frac{t-1}{t}.$$ したがって$g$は$0<t<1$で減少し、$t>1$で増加するので、最小値は$g(1)=0$である。よって$\log t\le t-1$。$t=x/k$を戻すと $$\displaystyle \log x-\log k=\log\frac{x}{k}\le\frac{x}{k}-1=\frac1k(x-k).$$ したがって$\boxed{1}$には$\leq$が入る。 等号は$g(t)=0$、すなわち$t=1$のときに限り成り立つので、等号成立条件は$x=k$である。

問2 $k=\alpha a+\beta b+\gamma c>0$として、問1の不等式をそれぞれ$x=a,b,c$に適用し、正の係数$\alpha,\beta,\gamma$を掛けて加えると $$\displaystyle \alpha(\log a-\log k)+\beta(\log b-\log k)+\gamma(\log c-\log k) \le\frac{\alpha(a-k)+\beta(b-k)+\gamma(c-k)}{k}.$$ $\alpha+\beta+\gamma=1$および$k=\alpha a+\beta b+\gamma c$より右辺は0である。従って $$\alpha\log a+\beta\log b+\gamma\log c\le\log k =\log(\alpha a+\beta b+\gamma c),$$ よって$\boxed{2}$には$\leq$が入る。

問3 各$n=1,2,3$について問2を適用すると $$\alpha_n\log a+\beta_n\log b+\gamma_n\log c\le\log s_n.$$ これらを加え、$\displaystyle \sum\alpha_n=\sum\beta_n=\sum\gamma_n=1$を使うと $$\log a+\log b+\log c\le\log s_1+\log s_2+\log s_3 =\log(s_1s_2s_3).$$ 対数関数は正の数上で増加するから$abc\le s_1s_2s_3$。従って$\boxed{3}$には$\geq$が入る。