III日本医科大学 2014年 数学 第III問解答・解説

問1 (1)

以下，$\displaystyle J_n=\displaystyle\int_0^2 x^n e^{-x^2}\,dx$ とおく。$\displaystyle \dfrac{d}{dx}e^{-x^2}=-2xe^{-x^2}$ だから，部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} J_2 &=-\frac12\int_0^2 x\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\bigr)\,dx\\ &=-\frac12\bigl[xe^{-x^2}\bigr]_0^2+\frac12\int_0^2 e^{-x^2}\,dx\\ &=\frac12I-e^{-4}. \end{aligned}$$ したがって，$\displaystyle\int_0^2 x^2e^{-x^2}\,dx=\frac12I-e^{-4}$ である。

問1 (2)

同様に部分積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} J_4 &=-\frac12\int_0^2 x^3\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\bigr)\,dx\\ &=-\frac12\bigl[x^3e^{-x^2}\bigr]_0^2+\frac32J_2\\ &=-4e^{-4}+\frac32\left(\frac12I-e^{-4}\right)\\ &=\frac34I-\frac{11}{2e^4}. \end{aligned}$$ よって，$\displaystyle\int_0^2 x^4e^{-x^2}\,dx=\frac34I-\frac{11}{2e^4}$ である。

問2

積の微分から $$\displaystyle \int_a^b 2ff'\,dx=[f^2]_a^b,\qquad \int_a^b 2f'f''\,dx=[(f')^2]_a^b,$$ また，部分積分により $$\displaystyle \int_a^b 2ff''\,dx=[2ff']_a^b-2\int_a^b(f')^2\,dx$$ を得る。これらを$(f+f'+f'')^2$ の展開に用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b(f+f'+f'')^2\,dx &=\int_a^b\bigl(f^2-(f')^2+(f'')^2\bigr)\,dx +[f^2+2ff'+(f')^2]_a^b\\ &=\int_a^b\bigl(f^2-(f')^2+(f'')^2\bigr)\,dx +[(f+f')^2]_a^b. \end{aligned}$$ 左辺は平方の積分なので0以上であり，求める不等式が成り立つ。

問3

問2において $a=0, b=2, f(x)=e^{-x^2/2}$ とする。このとき $$f'(x)=-xe^{-x^2/2},\qquad f''(x)=(x^2-1)e^{-x^2/2},$$ したがって $$\displaystyle 0\leq\int_0^2(f+f'+f'')^2\,dx =\int_0^2(x^2-x)^2e^{-x^2}\,dx =J_4-2J_3+J_2.$$ ここで，部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} J_3 &=-\frac12\int_0^2x^2\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\bigr)\,dx\\ &=-\frac12[x^2e^{-x^2}]_0^2+\int_0^2xe^{-x^2}\,dx\\ &=-2e^{-4}+\frac12(1-e^{-4}) =\frac12-\frac{5}{2e^4}. \end{aligned}$$ 問1の結果と合わせると $$\displaystyle \begin{aligned} 0\leq J_4-2J_3+J_2 &=\left(\frac34I-\frac{11}{2e^4}\right) -2\left(\frac12-\frac{5}{2e^4}\right) +\left(\frac12I-e^{-4}\right)\\ &=\frac54I-1-\frac{3}{2e^4}. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle \frac54I\geq1+\frac{3}{2e^4}$ であり， $$\displaystyle I\geq\frac45+\frac{6}{5e^4}$$ を得る。