II横浜市立大学 2014年 数学 第II問解答・解説

(1) $a_1<a_2<a_3$ なので、平均値の定理を$a_1\le x\le a_2$ と $a_2\le x\le a_3$ の範囲にそれぞれ使うと、 $$\displaystyle \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=f'(c_1),\qquad \frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2}=f'(c_2)$$ となる $c_1,c_2$ で、$a_1<c_1<a_2$、$a_2<c_2<a_3$ を満たすものがある。$c_1<a_2<c_2$ だから $c_1<c_2$ である。さらに $f'$ に平均値の定理を使うと、$c_1<\xi<c_2$ となる $\xi$ があり、 $$f'(c_2)-f'(c_1)=f''(\xi)(c_2-c_1)<0.$$ 従って $f'(c_1)>f'(c_2)$ であり、求める割線の不等式を得る。

(2) $\alpha=0,1$ または $x_1=x_2$ のときは等号である。それ以外では、添字を入れ替えれば $x_1<x_2$ としてよい（そのとき重みも入れ替える）。 $$z=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$$ とおくと $x_1<z<x_2$ であり、 $$z-x_1=(1-\alpha)(x_2-x_1),\qquad x_2-z=\alpha(x_2-x_1).$$ (1)を $x_1,z,x_2$ に適用し、分母を正として交差乗算すると $$\displaystyle \frac{f(z)-f(x_1)}{z-x_1}>\frac{f(x_2)-f(z)}{x_2-z} \quad\text{より}\quad \alpha\{f(z)-f(x_1)\}>(1-\alpha)\{f(x_2)-f(z)\}.$$ 整理して $$f(z)>\alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)$$ を得る。等号の場合も含めて、問題の不等式が成り立つ。

(3) $\beta=\alpha_1+\alpha_2$ とおく。$\beta=0$ なら $\alpha_1=\alpha_2=0,\alpha_3=1$ なので等号である。$\beta>0$ のとき $$\displaystyle y=\frac{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}{\beta}$$ とおく。この $y$ は区間 $D$ に属する。(2)を $x_1,x_2$ に重み $\alpha_1/\beta,\alpha_2/\beta$ で適用すると $$\displaystyle f(y)\geq\frac{\alpha_1}{\beta}f(x_1)+\frac{\alpha_2}{\beta}f(x_2).$$ また、(2)を $y,x_3$ に重み $\beta,\alpha_3=1-\beta$ で適用して $$\begin{aligned} f(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3) &=f(\beta y+\alpha_3x_3)\\ &\geq\beta f(y)+\alpha_3f(x_3)\\ &\geq\alpha_1f(x_1)+\alpha_2f(x_2)+\alpha_3f(x_3). \end{aligned}$$ となる。$D$ は区間なので、これらの重み付き平均も $D$ に属する。

(4) $x>0$ で $f(x)=\log x$ とおくと $$\displaystyle f''(x)=-\frac1{x^2}<0$$ であり、(3)を $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=1/3$ として使える。従って $$\displaystyle \log\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq\frac{\log x_1+\log x_2+\log x_3}{3} =\log\sqrt[3]{x_1x_2x_3}.$$ 対数関数は正の範囲で増加するから $$\displaystyle \boxed{\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\geq\sqrt[3]{x_1x_2x_3}}.$$ $\log x$ は $f''<0$ のもとで二点不等式が異なる2点間で厳密となるため、等号は $x_1=x_2=x_3$ のときに限る。