III日本医科大学 2016年 数学 第III問解答・解説

III（問1・問2）

問1 $\overrightarrow{PQ}=(-5,-4t+2)$ なので，直線 $PQ$ の傾きは $(4t-2)/5$。点 $P(t,t^2)$ を通るから $$\displaystyle y-t^2=\frac{4t-2}{5}(x-t),\qquad \boxed{(4t-2)x-5y+t^2+2t=0}.$$ 線分上では $x$ 座標が $P$ の $t$ から $Q$ の $t-5$ まで動くので，定義域は $$\boxed{t-5\le x\le t}\qquad(1\le t\le3).$$

問2 線分上の点は，$1\le t\le3$ を満たすある $t$ について $t-5\le x\le t$ および $$5y=t^2+(4x+2)t-2x=:F_x(t)$$ を満たす。したがって $-4\le x\le3$ であり，各 $x$ に対して $$\displaystyle \max(1,x)\le t\le\min(3,x+5).$$ $t$ の範囲は，$-4\le x\le-2$ では $1\le t\le x+5$，$-2\le x\le1$ では $1\le t\le3$，$1\le x\le3$ では $x\le t\le3$ となる。$F_x(t)$ は $t$ の上に凸な二次式で，頂点は $t=-2x-1$。各区間での最小値・最大値を調べると，下端と上端は次の通り。 $$\displaystyle L(x)= \begin{cases} x^2+6x+7,&-4\le x\le-2,\\ \dfrac{-4x^2-6x-1}{5},&-2\le x\le-1,\\ \dfrac{2x+3}{5},&-1\le x\le1,\\ x^2,&1\le x\le3, \end{cases} \qquad U(x)= \begin{cases} \dfrac{2x+3}{5},&-4\le x\le-\dfrac32,\\ 2x+3,&-\dfrac32\le x\le3. \end{cases}$$ 連続な二次式 $F_x(t)$ の像は区間なので，通過範囲は $$\boxed{-4\le x\le3,\qquad L(x)\le y\le U(x)}.\qquad\text{これらを同時に満たす点の領域が $D$ である。}$$ たとえば下端は $(-4,-1)$ から $(-2,-1)$ までの $y=x^2+6x+7$，次に $(-2,-1)$ から $(-1,1/5)$ までの $y=(-4x^2-6x-1)/5$，さらに直線 $y=(2x+3)/5$，最後に放物線 $y=x^2$ である。上端は $(-4,-1)$ から $(-3/2,0)$ まで $y=(2x+3)/5$，そこから $(3,9)$ まで $y=2x+3$。