IV関西医科大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi$ では $s-c>0$ であり，$s+c=2t$，$s^2+c^2=1$ である。

(1) 2点 $P(c,c^2),Q(s,s^2)$ を通る直線の傾きは $$\displaystyle \frac{s^2-c^2}{s-c}=s+c=2t$$ である。切片は $c^2-2tc=-sc$ であり， $$\displaystyle sc=\frac{(s+c)^2-(s^2+c^2)}2=2t^2-\frac12.$$ したがって直線 $PQ$ の方程式は $$\displaystyle y=2tx+\frac12-2t^2$$ である。

(2) $\overrightarrow{PQ}=(s-c,s^2-c^2)=(s-c)(1,2t)$ だから $$L^2=(s-c)^2(1+4t^2).$$ また $(s-c)^2=1-2sc=2-4t^2$ であり，$s+c$ は $\theta$ が $\displaystyle \frac\pi2$ から $\pi$ へ動くと1から−1まで連続して変わるので，$u=4t^2$ は $0\leq u\leq1$ の全ての値をとる。よって $$L^2=(2-u)(1+u)=2+u(1-u).$$ $0\leq u\leq1$ より $\displaystyle 0\leq u(1-u)\leq\frac14$ であるから $$\displaystyle \sqrt2\leq L\leq\frac32.$$

(3) 上の最大値は $u(1-u)$ が最大となる $\displaystyle u=\frac12$ のときにとる。したがって $$\displaystyle s+c=2t=\pm\frac1{\sqrt2}.$$ $\displaystyle s+c=\sqrt2\sin(\theta+\frac\pi4)$ を用い，指定範囲内で解くと $$\displaystyle \theta=\frac{7\pi}{12},\quad\frac{11\pi}{12}$$ である。

(4) パラメータ $t$ は $\displaystyle -\frac12\leq t\leq\frac12$ を動き，直線の式を平方完成すると $$\displaystyle y=\frac{1+x^2}{2}-2\left(t-\frac{x}{2}\right)^2.$$ したがって $\displaystyle y\leq\frac{1+x^2}{2}$ である。また，線分の端点の $x$ 座標は $-1\le c\le1$、$-1\le s\le1$ を満たすので，線分上でも $-1\leq x\leq1$ である。さらに線分上にある条件は，端点の中点が $x=t$，半分の長さが $\displaystyle \sqrt{\frac12-t^2}$ であることから $$\displaystyle |x-t|\leq\sqrt{\frac12-t^2}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2\leq 2tx+\frac12-2t^2=y.$$ よって通過領域は $$\displaystyle -1\leq x\leq1,\qquad x^2\leq y\leq\frac{1+x^2}{2}$$ である。この範囲の全ての点が実際に通過する。$-1\le x\le1$ を満たす $x$ を固定すると，$t=x/2$ は許され，上側境界を与える。下側境界 $y=x^2$ は $x\geq0$ なら $Q$，$x\leq0$ なら $P$ がその点となるパラメータで実現し，その間の許される $t$ は連続な区間である。したがって各縦断面はこの二境界の間を全て含む。図は放物線 $y=x^2$ と $\displaystyle y=\frac{1+x^2}{2}$ の間で，交点 $(-1,1),(1,1)$ に挟まれた閉領域を塗ったものとなる。境界も含む。