岡山大学 2014年数学第4問解答・解説

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1問題

岡山大学2014年度第4問

三角形 $ABC$ において， $AB=BC=2,\ CA=1$ とする。 $0\leq x\leq 1$ を満たす $x$ に対して，辺 $BC$ の延長上に点 $P$ を，辺 $CA$ 上に点 $Q$ を，それぞれ $CP=AQ=x$ となるようにとる。さらに，直線 $PQ$ と辺 $AB$ の交点を $R$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

三角形ABCを示す図。B、C、Pは一直線上でCの右にPがあり、Qは辺CA上、Rは辺AB上にある。線分RPはQを通る。

(1) $AR$ を $x$ の関数として表せ。　 (2) (1)の関数を $f(x)$ とおくとき， $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle AR=\frac{2x^2}{2-x}$ 、 $\displaystyle\int_0^1 AR\,dx=8\ln 2-5$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$B=(0,0), C=(2,0), A=(u,v)\ (v>0)$ とおく。距離条件から $u^2+v^2=4,\qquad (u−2)^2+v^2=1,$ したがって $u=7/4, v=\sqrt{15}/4$ 。よって $\displaystyle P=(2+x,0),\qquad Q=\left(\frac{7+x}{4},\frac{\sqrt{15}(1−x)}4\right).$ $R=tA$ とおき、 $P,Q,R$ の共線条件を整理すると $\displaystyle t=\frac{(1−x)(2+x)}{2−x}.$ $0\le x\le1$ で $0\le t\le1$ なので、 $AB=2$ より $\displaystyle AR=2(1−t)=\frac{2x^2}{2−x}.$ 次に $2x^2/(2−x)=−2x−4+8/(2−x)$ と変形し、積分すると $\displaystyle \int_0^1 AR\,dx=\left[−x^2−4x−8\ln(2−x)\right]_0^1=8\ln2−5.$

この問題で使う考え方

座標と距離
直線の共線条件
有理式の部分分解
定積分

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