神戸大学 2015年数学第1問解答・解説

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1問題

神戸大学2015年度第1問

数学（理科系）150点。注意：解答はすべて答案用紙の指定のところに記入しなさい。

1. 座標平面上の2つの曲線 $\displaystyle y=\frac{x-3}{x-4}$ , $\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-1)(x-3)$ をそれぞれ $C_1,C_2$ とする。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) 2曲線 $C_1,C_2$ の交点をすべて求めよ。

(2) 2曲線 $C_1,C_2$ の概形をかき、 $C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

交点は $\displaystyle \quad (0,\frac34),(3,0),(5,2)\quad$ 。有限の閉領域は $\quad 0\le x\le3\quad$ の部分だけで、その面積は $\quad 3-\log4\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

交点は $x\ne4$ に注意して方程式を整理する。 $\displaystyle \frac{x-3}{x-4}=\frac14(x-1)(x-3) \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (x-3)\{(x-4)(x-1)-4\}=0 \quad\text{、すなわち}\quad (x-3)x(x-5)=0.$ したがって $x=0,3,5$ であり、対応する点は $(0,3/4),(3,0),(5,2)$ である。

$C_1$ は $x=4$ を垂直漸近線にもち、 $C_2$ は上に開く放物線である。 $0<x<3$ では $C_1$ が上側、 $C_2$ が下側なので、この2曲線に囲まれる有限領域の面積は $\displaystyle \int_0^3\left(\frac{x-3}{x-4}-\frac14(x-1)(x-3)\right)dx =\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x}{4}-\frac{x^3}{12}+\log|x-4|\right]_0^3 =3-\log4.$ 図の右側では $x=4$ に漸近線があるため、交点 $(5,2)$ と曲線の間に有限の閉領域はできない。したがって面積として囲まれる図形は $x=0$ と $x=3$ の間の領域のみである。

この問題で使う考え方

交点方程式
グラフの漸近線
定積分

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