5神戸大学 2015年 数学 第5問解答・解説

a,b,cの条件は対称なので、まず大きい順に並べた値を$x\ge y\ge z$とする。

正の3数が三角形の3辺となる条件は、最大の辺が他の2辺の和より小さいことである。したがって整数辺については$x<y+z$である。また、逆数の3辺では$1/z$が最大だから、$$\displaystyle \frac1z<\frac1x+\frac1y.$$ 正の数$xyz$を掛けると$xy<z(x+y)$を得る。よって条件$(*)$は$$x<y+z,\qquad xy<z(x+y)$$と同値である。

各値が1以上7以下であることと$x\ge y\ge z$を合わせ、これらの不等式を満たす$(y,z)$を$x$ごとに調べると、次の表を得る。$$\begin{array}{c|l}x& (y,z)\\\hline 1&(1,1)\\ 2&(2,2)\\ 3&(2,2),(3,2),(3,3)\\ 4&(3,2),(3,3),(4,3),(4,4)\\ 5&(3,3),(4,3),(4,4),(5,3),(5,4),(5,5)\\ 6&(4,3),(4,4),(5,3),(5,4),(5,5),(6,4),(6,5),(6,6)\\ 7&(4,4),(5,3),(5,4),(5,5),(6,4),(6,5),(6,6),(7,4),(7,5),(7,6),(7,7)\end{array}$$ (1)は$x=y>z$の場合であり、表から$$x=3: z=2;\quad x=4: z=3;\quad x=5: z=3,4;\quad x=6: z=4,5;\quad x=7: z=4,5,6$$となる。したがって$1+1+2+2+3=9$通り。

(2)は$x>y>z$の場合である。表から、$x=4$では1組、$x=5$では1組、$x=6$では3組、$x=7$では4組であり、合計$1+1+3+4=9$通り。

(3)では、条件が3文字について対称なので、上の表で数えた各並べ替え前の組を分類する。$x=y=z$は1から7までの7組、ちょうど2数が等しい組は$x=y>z$が9組、$x>y=z$が9組である。最後の2種類はそれぞれ異なる並べ方が3通りずつあり、$x>y>z$は9組それぞれ異なる並べ方が6通りある。よって求める個数は$$7+3\cdot9+3\cdot9+6\cdot9=115.$$