4神戸大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) 共通分母を払うと $$2ak+6b=p(k+1)(k+3)+qk(k+3)+rk(k+1)$$ がすべての自然数 $k$ で成り立つ。両辺の差は高々2次の多項式であり、無限個の $k$ で0となるから恒等的に0である。したがって $k=0,-1,-3$ を代入でき、 $$3p=6b,\qquad -2q=-2a+6b,\qquad 6r=-6a+6b.$$ よって $$p=2b,\qquad q=a-3b,\qquad r=b-a.$$

(2) $b=0$ のとき、(1)より $\displaystyle x_k=\dfrac{a}{k+1}-\dfrac{a}{k+3}$ である。よって隣り合う項を消去すると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}x_k=a\left(\frac12+\frac13-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)\qquad(n\ge3).$$

$a=0$ のときは $\displaystyle x_k=\dfrac{2b}{k}-\dfrac{3b}{k+1}+\dfrac{b}{k+3}$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}x_k=b\left\{2\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k-3\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{k+1}+\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{k+3}\right\}.$$ 分母 $4,5,\ldots,n$ の項は係数 $2-3+1=0$ となって消え、分母 $1,2,3,n+1,n+2,n+3$ の項をまとめると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}x_k=b\left(2-\frac12-\frac13-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}+\frac1{n+3}\right) =b\left(\frac76-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}+\frac1{n+3}\right)\qquad(n\ge4).$$

(3) (1)を用いた部分和を $S_n$ とすると $$\displaystyle S_n=2b\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k+(a-3b)\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{k+1}+(b-a)\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{k+3}.$$ $n\ge3$ では分母 $4,\ldots,n$ の項の係数は $2b+(a-3b)+(b-a)=0$ である。分母 $1,2,3,n+1,n+2,n+3$ の項をまとめると $$\displaystyle S_n=2b+(a-b)\left(\frac12+\frac13\right)-\frac{2b}{n+1}+(b-a)\left(\frac1{n+2}+\frac1{n+3}\right) =\frac{5a+7b}{6}-\frac{2b}{n+1}+\frac{b-a}{n+2}+\frac{b-a}{n+3}.$$ 最後の3項は $n\to\infty$ で0に収束するため、部分和は有限の極限をもち、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}x_k=\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac{5a+7b}{6}.$$