2岡山大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle x=-ay$ とすると左辺は $\displaystyle (1-a^2)y^2-2aby+1$ となる。$\displaystyle |a|>1$ なら $\displaystyle y^2$ の係数が負なので、十分大きな $\displaystyle |y|$ で不等式に反する。$\displaystyle |a|<1$ では $$\displaystyle x^2+y^2+2axy+2bx+1=(x+ay+b)^2+(1-a^2)\left(y-\frac{ab}{1-a^2}\right)^2+1-\frac{b^2}{1-a^2}.$$ よって全ての $\displaystyle x,y$ で非負となる必要十分条件は $\displaystyle b^2\le1-a^2$。$\displaystyle |a|=1$ では左辺は $\displaystyle (x+ay)^2+2bx+1$ となり、$\displaystyle x+ay$ を固定したまま $\displaystyle x$ を変えられるから $\displaystyle b=0$ が必要十分である。したがって領域は $$\displaystyle a^2+b^2\le1,$$ すなわち境界を含む原点中心、半径1の円盤（軸との交点は $\displaystyle (\pm1,0),(0,\pm1)$）。

(2) $\displaystyle u=\sqrt{1-a^2}$ とおけば $\displaystyle 0\le u\le1$ かつ $\displaystyle -u\le b\le u$。したがって $$\displaystyle a^2+b\le1-u^2+u=\frac54-\left(u-\frac12\right)^2\le\frac54.$$ 等号は $\displaystyle u=\frac12$, $\displaystyle b=u$、すなわち $\displaystyle a=\pm\frac{\sqrt3}{2}, b=\frac12$ で取る。下からは $$\displaystyle a^2+b\ge1-u^2-u\ge-1,$$ 等号は $\displaystyle u=1$, $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=-1$ で取る。最大値は $\displaystyle \frac54$、最小値は $\displaystyle -1$。

図の円周は実線で、青く塗った内部と円周をともに含む。

(1) $\displaystyle x=-ay$ とおくと左辺は $\displaystyle (1-a^2)y^2-2aby+1$ となる。$\displaystyle |a|>1$ なら $\displaystyle y^2$ の係数が負で、大きな $\displaystyle |y|$ で式は負になるため不可能。$\displaystyle |a|<1$ なら $$\displaystyle x^2+y^2+2axy+2bx+1=(x+ay+b)^2+(1-a^2)\left(y-\frac{ab}{1-a^2}\right)^2+1-\frac{b^2}{1-a^2}$$ と変形でき、全ての $\displaystyle x,y$ で非負となる条件は $\displaystyle b^2\le1-a^2$。$\displaystyle |a|=1$ では二次式は $\displaystyle (x+ay)^2+2bx+1$。$\displaystyle x+ay$ を固定して x を変えられるため、全てで非負となるには $\displaystyle b=0$ が必要十分。この境界条件も含め、領域は $\displaystyle a^2+b^2\le1$、すなわち原点中心・半径1の閉円盤（境界を含む）である。 (2) $\displaystyle u=\sqrt{1-a^2}\quad(0\le u\le1)$ とする。円盤では $\displaystyle -u\le b\le u$ だから $\displaystyle a^2+b\le1-u^2+u=\frac54-\left(u-\frac12\right)^2\le\frac54$。等号は $\displaystyle u=\frac{1}{2}$、$\displaystyle b=u$ のとき、すなわち $\displaystyle a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{1}{2}$ で取る。最小値は $\displaystyle b\ge-u$ より $\displaystyle a^2+b\ge1-u^2-u\ge-1$（$\displaystyle 0\le u\le1$）。等号は $\displaystyle u=1$（$\displaystyle a=0$）, $\displaystyle b=-1$ で取る。