6筑波大学 2009年 数学 第6問解答・解説

$P(x,y)$ が双曲線上にあるので $y^2=x^2/2-1$ かつ $|x|\ge\sqrt2$ である。距離の二乗を $D_a(x)$ とすると $$\displaystyle D_a(x)=(x-a)^2+y^2=\frac32x^2-2ax+a^2-1.$$

(1) まず $a\ge0$ とする。$x=-u$ と $x=u$（$u\ge\sqrt2$）の距離二乗の差は $$D_a(-u)-D_a(u)=(u+a)^2-(u-a)^2=4au\ge0,$$ 従って最小値は $x\ge\sqrt2$ の枝で得られる。平方完成すると $$\displaystyle D_a(x)=\frac32\left(x-\frac{2a}{3}\right)^2+\frac{a^2}{3}-1.$$ 二次式の頂点は $x=2a/3$ である。$0\le a\le3\sqrt2/2$ なら頂点は許される範囲の左にあるので、最小は $x=\sqrt2$ で生じ、距離は $|a-\sqrt2|$ となる。$a\ge3\sqrt2/2$ なら頂点が許され、最小距離は $\sqrt{a^2/3-1}$ である。双曲線は $y$ 軸対称なので $f(-a)=f(a)$。これらをまとめると $$\displaystyle f(a)=\begin{cases} \sqrt2-|a|,&|a|\le\sqrt2,\\ |a|-\sqrt2,&\sqrt2\le|a|\le\dfrac{3\sqrt2}{2},\\ \sqrt{\dfrac{a^2}{3}-1},&|a|\ge\dfrac{3\sqrt2}{2}. \end{cases}$$

(2) $f$ は偶関数で、$b\ge0$ である。中央では $b=\sqrt2-|a|$（$|a|\le\sqrt2$）および $b=|a|-\sqrt2$（$\sqrt2\le|a|\le3\sqrt2/2$）という直線部分になる。従って $(0,\sqrt2)$ が中央の尖点、$(\pm\sqrt2,0)$ が $a$ 軸との交点である。外側の曲線 $b=\sqrt{a^2/3-1}$ は $|a|=3\sqrt2/2$ で $b=\sqrt2/2$ と接続し、中心から左右外側へ向かって増加する。さらに $$\displaystyle \frac{b}{|a|}=\sqrt{\frac13-\frac1{a^2}}\longrightarrow\frac1{\sqrt3}\qquad(|a|\to\infty),$$ なので、両端は傾きの比が $1/\sqrt3$ となる斜漸近線に近づく。この点と折れ線・外側の枝を左右対称に描けば概形が得られる。 斜漸近線は比だけでなく差でも確認できる。$$\displaystyle \sqrt{a^2/3-1}-|a|/\sqrt3=\frac{-1}{\sqrt{a^2/3-1}+|a|/\sqrt3}\longrightarrow0.$$