5神戸大学 2000年 数学 第5問解答・解説

(1) 中心 $\displaystyle (+\frac a2,0)$、半径 $\displaystyle \frac a2$ の円は $\displaystyle (x-\frac a2)^2+y^2=(\frac a2)^2$、すなわち $x^2+y^2=ax$ である。$x=r\cos\theta$、$x^2+y^2=r^2$ を代入すると $r^2=ar\cos\theta$。原点も含めた円の極方程式は $r=a\cos\theta$ である。

(2) $c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とし、直線 $OP$ 上の点を $T=t(c,s)$ とおく。$T$ が円 $S$ 上にある条件は $t^2=atc$、すなわち $t=0$ または $t=ac$ である。$P$ の直線上の座標は $r=a(1+c)$ だから、もう一つの交点 $Q$ との距離は $|a(1+c)-ac|=a$。$c=0$ では円との交点が重なって $Q=O$ となるが、$P$ の距離は $a$ なので $PQ=a$ のままである。したがって $PQ$ は一定である。

(3) $P=(a(1+c)c,a(1+c)s)$、$A=(2a,0)$ とすると、$c=\cos\theta$、$-1\le c\le1$ に対して $\displaystyle AP^2=a^2(5-2c-3c^2)=a^2(\frac{16}{3}-3(c+\frac13)^2)$。最大は範囲内の $\displaystyle c=-\frac13$ でとり、$\displaystyle AP=\frac{4a}{\sqrt3}$。