2神戸大学 2000年 数学 第2問解答・解説

$P$ が面 $ABC$ 上にあるので $x,y\ge0$, $x+y\le1$ である。また $Q$ が面 $BCD$ 上にあるので $s,t,u\ge0$, $s+t+u=1$ である。比が定義され、$x:y=s:t$ だから、ある $k>0$ を用いて $$x=ks,\qquad y=kt$$ とおける。

$$\displaystyle \lambda=\frac{k}{1+ku},\qquad \mu=\frac{1}{1+ku}$$ とする。$k,u\ge0$ より $0<\mu\le1$ である。また $$k(1-u)=k(s+t)=x+y\le1$$ なので $k\le1+ku$、従って $0<\lambda\le1$ である。よって $\overrightarrow{AX}=\lambda\overrightarrow{AQ}$ と定めた点 $X$ は線分 $AQ$ 上にある。

さらに $\lambda s=\mu x$, $\lambda t=\mu y$, $\lambda u=1-\mu$ だから、与えられた位置ベクトルを用いて $$\begin{aligned} \overrightarrow{AX} &=\lambda\overrightarrow{AQ}\\ &=\lambda s\overrightarrow{AB}+\lambda t\overrightarrow{AC}+\lambda u\overrightarrow{AD}\\ &=\mu x\overrightarrow{AB}+\mu y\overrightarrow{AC}+(1-\mu)\overrightarrow{AD}\\ &=\mu\overrightarrow{AP}+(1-\mu)\overrightarrow{AD}. \end{aligned}$$ $0<\mu\le1$ より最後の式は線分 $DP$ 上の点の表示である。従って $X$ は線分 $AQ$ と $DP$ の共通点であり、両線分は交わる。