1神戸大学 2000年 数学 第1問解答・解説

図の直線は、整数 k に対する x=k、y=k、y-x=k の3種類である。　 A と P の x 座標はそれぞれ $\displaystyle \frac{2}{3}$、m+$\displaystyle \frac{2}{3}$ なので、その間にある整数は 1,2,$\ldots$,m であり、縦の直線 x=k は m 本ある。同様に、y 座標の間にある整数は 1,2,$\ldots$,n であり、横の直線 y=k は n 本ある。　 さらに、y-x の値は A で -$\displaystyle \frac{1}{3}$、P で n-m-$\displaystyle \frac{1}{3}$ である。d=n-m とおく。d=0 のとき間にある整数はなく、d>0 のときは 0,1,$\ldots$,d-1 の d 個、d<0 のときは d,d+1,$\ldots$,-1 の -d 個である。したがって、両点を分ける斜めの直線 y-x=k は |n-m| 本ある。　 これらの各直線は A と P を分けるので、どのような道を通ってもそれぞれを横切る必要がある。一方、線分 AP 上では x、y、y-x がいずれも端点の値の間を一次的に変化するから、線分 AP は上で数えた直線だけを横切る。よって最小本数は m+n+|n-m|=2$\displaystyle \max$(m,n) 本である。