1北海道大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $z=x+iy$、$x^{2}+y^{2}=4$ とおく。すると $$\begin{aligned} w&=(x+iy)^{2}-2a(x+iy)+1\\ &=\{2x(x-a)-3\}+2iy(x-a). \end{aligned}$$ したがって $$\begin{aligned} |w|^{2}&=\{2x(x-a)-3\}^{2}+4(4-x^{2})(x-a)^{2}\\ &=16(x-a)^{2}-12x(x-a)+9\\ &=4x^{2}-20ax+16a^{2}+9. \end{aligned}$$ (2) $z$ が $C$ 上を一周するとき、$x$ は $-2\le x\le2$ の範囲を動く。平方完成すると $$\displaystyle F_a(x)=|w|^{2}=4\left(x-\frac{5a}{2}\right)^{2}+9(1-a^{2}).$$ 頂点 $x=5a/2$ が区間内にある条件は $|a|\le4/5$ である。この場合、$\displaystyle \min |w|^{2}=9(1-a^{2})$ より $\displaystyle \min |w|=3\sqrt{1-a^{2}}$。$|a|>4/5$ では最も近い端点が最小となる。すなわち $a>4/5$ なら $x=2$、$a<-4/5$ なら $x=-2$ であり、いずれも $|w|^{2}=(4|a|-5)^{2}$。よって $\displaystyle \min |w|=|4|a|-5|$。境界 $|a|=4/5$ では両式とも $9/5$ で一致する。

複素数の実部・虚部に分けて絶対値二乗を整理し、$-2\le x\le2$ の範囲の二次関数を平方完成して、頂点内外で場合分けする。