4北海道大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$f(x)=x^3+x^2-2x-1$ とおくと $$f(-2)=-1,\quad f(-1)=1,\quad f(0)=-1,\quad f(1)=-1,\quad f(2)=7.$$ 連続性と中間値の定理より、$f$ は範囲 $-2<x<-1$, $-1<x<0$, $1<x<2$ のそれぞれに少なくとも1つ実根をもつ。これらの区間は互いに交わらず、いずれも0を含まない。三次方程式は異なる実根を高々3個しかもたないため、異なる3つの0でない実数解 $s,t,u$ をもつ。

(2) 3つの根 $s,t,u$ のそれぞれを $r$ とすると $$r^3+r^2-2r-1=0.$$ $D_r=(r-r')(r-r'')$ とおく。ここで $r',r''$ は $r$ 以外の2根である。各根は異なるので $D_r\ne0$。上の等式に $r^{n-1}/D_r$ を掛け、3根について足すと $$\displaystyle \sum\limits _{r=s,t,u}\frac{r^{n+2}+r^{n+1}-2r^n-r^{n-1}}{D_r}=0.$$ $a_n$ の定義により、これは $$a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$ を意味する。

(3) まず $$\displaystyle G(x)=\frac{(x-t)(x-u)}{D_s} +\frac{(x-u)(x-s)}{D_t} +\frac{(x-s)(x-t)}{D_u}$$ とおく。$G$ は高々2次式であり、$G(s)=G(t)=G(u)=1$ だから、$G(x)-1$ は異なる3根をもつ高々2次式である。従って $G(x)\equiv1$。

$e_1=s+t+u$, $e_2=st+tu+us$ とおく。定義を展開すると $$G(x)=a_1x^2+(a_2-e_1a_1)x+(a_3-e_1a_2+e_2a_1).$$ これを恒等式 $G(x)=1$ と係数比較して $$a_1=0,\qquad a_2-e_1a_1=0,\qquad a_3-e_1a_2+e_2a_1=1,$$ よって $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=1$ を得る。

(2) の漸化式を $$a_{n+3}=-a_{n+2}+2a_{n+1}+a_n$$ と書けば、初めの3項は整数であり、右辺は整数係数の和である。数学的帰納法により、全ての自然数 $n$ について $a_n$ は整数。