4宮崎大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $g(x)=x+\sqrt{4-x^2}$とおく。$-2\le x\le2$では$g(x)\ge-2$で、等号は$x=-2$で成立する。$u=x$, $v=\sqrt{4-x^2}$とすると$u^2+v^2=4$であり、$(u-v)^2\ge0$から$(u+v)^2\le8$。よって$g(x)\le2\sqrt2$で、等号は$x=v=\sqrt2$で成立する。$g$は連続なので値域は$-2\le g(x)\le2\sqrt2$。$k+g(x)=0$の解がある条件は $$\boxed{-2\sqrt2\le k\le2}.$$ (2) 原文の領域$0\le y\le|f(x)|$の回転断面は半径$|f(x)|$の円板である。従って $$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_{-2}^{2}(k+x+\sqrt{4-x^2})^2dx\\ &=\pi\int_{-2}^{2}(k^2+4+2kx+2k\sqrt{4-x^2}+2x\sqrt{4-x^2})dx. \end{aligned}$$ 奇関数$2kx$と$2x\sqrt{4-x^2}$の積分は0。また$\displaystyle \int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx$は半径2の半円の面積なので$2\pi$。よって $$\boxed{V=4\pi k^2+4\pi^2k+16\pi}.$$ (3) 平方完成すると $$\displaystyle V=4\pi\left(k+\frac\pi2\right)^2+16\pi-\pi^3.$$ $k=-\pi/2$は(1)の範囲に入るので、このとき最小値$\boxed{16\pi-\pi^3}$をとる。