1宮崎大学 2019年 数学 第1問解答・解説

与えられた不等式の左辺から右辺の定数項を除いた式を整理すると、$$\cos x\cos y+\sin x\cos y-\sin x\sin y+\cos x\sin y=\cos(x+y)+\sin(x+y)$$となる。したがって、求める条件は$$\cos(x+y)+\sin(x+y)\ge1$$である。ここで $t=x+y$ とおくと、$0\le x,y\le2\pi$ より $0\le t\le4\pi$ である。また、$$\displaystyle \cos t+\sin t=\sqrt2\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)$$だから、条件は $\displaystyle \cos(t-\frac{\pi}{4})\ge\frac{1}{\sqrt2}$ と同値である。よって、ある整数 $k$ に対して $\displaystyle 2k\pi\le t\le2k\pi+\frac{\pi}{2}$ となる。これを $0\le t\le4\pi$ と合わせると、$$\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2},\qquad 2\pi\le t\le\frac{5\pi}{2},\qquad t=4\pi$$を得る。したがって、正方形 $0\le x,y\le2\pi$ の中で、$\displaystyle x+y\le\frac{\pi}{2}$ の部分、$\displaystyle 2\pi\le x+y\le\frac{5\pi}{2}$ の部分、および $x+y=4\pi$ となる点を図示すればよい。最後の条件を満たすのは $x=y=2\pi$ のみである。各不等号は等号を含むので境界も領域に含める。前二つの部分は、それぞれ頂点 $\displaystyle (0,0),(\frac{\pi}{2},0),(0,\frac{\pi}{2})$ の三角形と、頂点 $\displaystyle (0,2\pi),(\frac{\pi}{2},2\pi),(2\pi,\frac{\pi}{2}),(2\pi,0)$ の四角形である。

着色した三角形と四角形（実線の境界を含む）、および右上の孤立点(2π,2π)が解の領域。点線の正方形の辺は、着色範囲に含まれる部分だけが解になる。