5宮崎大学 2019年 数学 第5問解答・解説

各剰余条件を用いて、求める余りの値と必要な導関数の値を定める。多項式の差が $(x-a)^2$ で割り切れるなら、その差は $(x-a)^2Q(x)$ と書けるから、差の値も導関数の値も $x=a$ で $0$ となる。したがって、二乗因子を法とする余りは、その点での値と導関数の値をともに一致させる。

(1) 余りを $R_1(x)=ax+b$ とおく。与えられた条件から $P(-1)=5$、$P(1)=7$ なので、$R_1(-1)=5$、$R_1(1)=7$ である。よって $-a+b=5$、$a+b=7$ となり、$a=1$、$b=6$ を得る。

(2) 余りを $R_2(x)=ax^2+bx+c$ とおく。$P(-1)=5$、$P(1)=7$、$P'(1)=2$ より、 $$a-b+c=5,\qquad a+b+c=7,\qquad 2a+b=2.$$ 前二式の差から $b=1$、第三式から $\displaystyle a=\frac12$、第二式から $\displaystyle c=\frac{11}{2}$ である。

(3) 余りを $R_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。二乗因子についての条件から $R_3(-1)=5$、$R_3'(-1)=-1$、$R_3(1)=7$、$R_3'(1)=2$ である。したがって、 $$\begin{aligned}-a+b-c+d&=5, & 3a-2b+c&=-1,\\ a+b+c+d&=7, & 3a+2b+c&=2.\end{aligned}$$ 値の二式を引くと $a+c=1$、導関数の二式を引くと $4b=3$ なので $\displaystyle b=\frac34$ である。また $3a-2b+c=-1$ に代入すると $\displaystyle 3a+c=\frac12$。これと $a+c=1$ から $\displaystyle a=-\frac14$、$\displaystyle c=\frac54$ を得る。さらに $a+b+c+d=7$ より $\displaystyle d=\frac{21}{4}$ となる。各余りを条件へ代入すると、指定された点での値と導関数の値が一致することも確認できる。

二乗因子で割った余りが一次式r(x)なら、x=±1で元の多項式と値および導関数が一致する。条件からP(−1)=5, P′(−1)=−1, P(1)=7, P′(1)=2。次数1・2・3の余りを順にこれらの条件へ当てはめ、係数を解く。