1高知大学 2019年 数学 第1問解答・解説

原文・対象確認

PDF p.2（印刷p.1）の大問1を原画像で確認した。実数cに対する多項式 $x^2+y^2-5-c(xy-2)$について、恒等条件の解、$c=2$の因数分解、$c=0$での非存在証明、因数分解できるc全体を順に問う。小問条件はOCRと一致する。

数学・範囲の点検

(1) cについて一次式に整理すると、すべての実数cで0となるには $xy-2=0$ と $x^2+y^2-5=0$ が必要十分。これから $(x+y)^2=9$、$(x-y)^2=1$。二式の符号を組み合わせると解は $(2,1),(1,2),(-1,-2),(-2,-1)$。4組を元の2条件へ代入して確認できる。

(2) $c=2$を代入すると $(x-y)^2-1=(x-y-1)(x-y+1)$。

(3) 実係数の一次式の積だと仮定し、二次項の係数から $ps=1,\quad qt=1,\quad pt+qs=0$。よって $(pt+qs)^2-4psqt=-4=(pt-qs)^2\ge0$ となる矛盾が生じる。

(4) 一般のcでは $pt+qs=-c$ なので、同じ恒等式から $c^2-4=(pt-qs)^2\ge0$ が必要。$c=2$なら $(x-y)^2-1$、$c=-2$なら $(x+y)^2-9$ となり、いずれも因数分解できる。$|c|>2$なら $pt-qs\ne0$ で二つの一次形式は独立するため、一次項を消すには両定数係数が0。定数項から$2c-5=0$が必要となり $\displaystyle c=\frac52$。実際に $\displaystyle (x-2y)(x-\frac y2)=x^2-\frac52xy+y^2$ である。答えは$\displaystyle -2,2,\frac52$の三つで、採用解説と一致する。

使ったのは係数比較、実数平方の非負性、平方差による因数分解であり、高校範囲内。

採用する解説

実数係数の積としての必要条件と、各候補が実際に因数分解できることを分けて記した。数学的修正は不要。