宮崎大学 2019年数学第3問解答・解説

場合の数と確率数列

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1問題

宮崎大学2019年度第3問

医学部。3 重ねた $n$ 枚のカードを上から順に以下の方法を組み合わせて過不足なくすべて取ることを考える。

A：1度にちょうど1枚取る。

B：1度にちょうど2枚取る。

C：1度にちょうど3枚取る。

重ねた $n$ 枚のカードを過不足なくすべて取る場合の数を $a_n$ とする。

例えば， $n=4$ のとき，1回目に方法A，2回目に方法A，3回目に方法Bで4枚を過不足なくすべて取ることをAABと表すことにすれば，4枚のカードを過不足なくすべて取る仕方は $\mathrm{AAAA},\ \mathrm{AAB},\ \mathrm{ABA},\ \mathrm{BAA},\ \mathrm{AC},\ \mathrm{CA},\ \mathrm{BB}$ の7通りである。よって， $a_4=7$ である。このとき，次の各問に答えよ。

(1) $a_1,a_2,a_3$ を求めよ。

(2) $n\geq4$ のとき， $a_n$ を $a_{n-1},a_{n-2},a_{n-3}$ を用いて表せ。

(3) $a_{10}$ を求めよ。

(4) 「方法Cを2回以上続けて用いることはできない」という制約を付け加えるとき，重ねた10枚のカードを過不足なくすべて取る場合の数を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_3=4$ ; (2) $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}\quad(n\ge4)$ ; (3) $a_{10}=274$ ; (4) Cを連続使用しない列は $250$ 通り。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

通常は先頭の手をA,B,Cで場合分けし三項漸化式。C連続禁止では末尾別に数え、A末尾 $x_n=t_{n-1}$ 、B末尾 $y_n=t_{n-2}$ 、C末尾 $z_n=x_{n-3}+y_{n-3}$ 。初期条件から表を順に埋め、n=10の総数250を得る。

既存A091の初期値・場合分け漸化式と表を実質点検。通常列は $a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_3=4$ 、 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$ から $a_{10}=274$ 。連続C禁止列は末尾A/B/Cのxₙ,yₙ,zₙで分け、zₙ=xₙ₋₃+yₙ₋₃とする。表のn=10は $138+76+36=250$ 。current authorは基底・各漸化式・計算を明記し一致。

この問題で使う考え方

場合分けによる漸化式
末尾の方法別状態分け
漸化式の反復

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