2東京大学 2015年 数学 第2問解答・解説

1回の試行で「AA」を書く確率は $1/2$、長さ1の文字を書く確率も $1/2$。そのうちBは確率 $1/6$ で出る。

(1) $p_n$ をn番目の文字がAである確率とする。$p_1=1/2,\ p_2=3/4$。$n\ge3$ では、最初のブロックがAAなら残りの位置は $n-2$、長さ1なら $n-1$ となるから $$\displaystyle p_n=\frac12p_{n-2}+\frac12p_{n-1}.$$ 差分 $\Delta_n=p_n-p_{n-1}$ は $\Delta_2=1/4,\ \Delta_n=-\Delta_{n-1}/2$。したがって $$\displaystyle p_n=\frac23+\frac13\left(-\frac12\right)^n\quad(n\ge1).$$

(2) $q_n$ を、$(n-1)$番目がAかつn番目がBである確率とする。$q_2=0,\ q_3=1/12$。$n\ge4$ では最初がAAのとき対象位置が $(n-3,n-2)$、長さ1のとき $(n-2,n-1)$ に移るので $$\displaystyle q_n=\frac12q_{n-2}+\frac12q_{n-1}.$$ 差分は $\Delta_3=1/12,\ \Delta_n=-\Delta_{n-1}/2$ となり、 $$\displaystyle q_n=\frac1{18}\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-2}\right\}\quad(n\ge2).$$ 式は $n=2$ でも $q_2=0$ を与える。